Лекции / Лекция 11
.docВариационные задачи с подвижными границами.
Предположим, что одна или более граничных точек может перемещаться.
Если на какой-нибудь кривой
достигается экстремум в задаче с
подвижными граничными точками, то
экстремум тем более достигается по
отношению к более узкому классу кривых,
имеющих общие граничные точки с кривой
.
Таким образом,
должна удовлетворять уравнению Эйлера.
.
Решение этого уравнения содержит
произвольные постоянные, которые
определялись из граничных условий в
задачах с неподвижными границами. В
случае подвижных границ они определяются
из равенства нулю функционала.
Пусть
закреплены, тогда найдём вариацию
функционала
.
Допустимые кривые будем считать близкими,
если модули вариаций
и
малы и малы модули приращений
.
Второе слагаемое по формуле Тейлора.
Так как
закреплена,то нижняя подстановка
обращается в ноль.
!
Если приращения независимы, то отсюда следует. Что
и
Но чаще приходится рассматривать случай,
когда вариации
и
зависимы
.
условие транверсальности.
Пример найти условие трансверсальности для функционалов вида
или
Т.е
условие ортогональности.
,
Интегральными кривыми являются окружности
.
Первое граничное условие даёт
.
Так как условие трансверсальности для
данного функционала сводится, условию
ортогональности
т.е.
Если граничная точка
может перемещаться лишь по вертикальной
прямой, то
и
Вариационные задачи на условный экстремум.
Найти экстремум функционала
при условии
,
.
Здесь также можно доказать справедливость
метода неопределённых множителей
Лагранжа.
Составим функцию Лагранжа
для неё записываем уравнение Эйлера.
Неизвестные
находим из условий связи.
Пример. Найти кривую
,
заданной длины
,
для которой площадь
под
ней достигает максимума.
,
при изопериметрическом условии
не зависит от
,
поэтому уравнение Эйлера имеет первый
интеграл
вводя параметр
,
полагая
,
тогда получим
,
откуда
,
,
получим семейство окружностей
Константы определяются из условия
,
.
Задача о максимальной площади между двумя кривыми.
Найти экстремаль
,
и интегральной связи
уравнение Эйлера
=
.