Лекции / Лекция 9

Лекция9. Вариационное исчисление.

Функционалом называется отображение, ставящее каждой функции из некоторого множества число.

Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить максимальное или минимальное значение функционала.

Задача о брахистохроне (сформулирована Бернулли). Даны две точки не лежащие на одной прямой. Нужно определить линию, соединяющую эти точки, такую что материальная точка скатится по этой линии без трения за кратчайшее время. Оказалось, что эта линия циклоида.

Задача о геодезических. Требуется найти линию наименьшей длины соединяющие две заданные точки на поверхности:

, причём функции y(x) и z(x) подчинены условиям (x,y,z)=0.

Изопериметрическая задача. Требуется найти замкнутую линию заданной длины l, ограничивающую максимальную площадь.

Вариация и её свойства.

Можно считать близкими функции y(x) и y₁(x) модуль их разности мал для всех x. Однако при таком определении близости кривых могут возникнуть сложности с функционалами вида . Поэтому естественно считать близкими те кривые, которые близки и по производным. В первом случае кривые близки в смысле близости нулевого порядка во втором в смысле первого.

Разность между двумя допустимыми функциями y=y₁(x)- y₂(x) называется вариацией аргумента функционала.

Определение. Если приращение функционала v=v[y(x)+ y]- v[y(x)]

можно представить в виде v=L[y(x), y]+[y(x), y]max|y|, где L-линейный функционал по отношению к y, а  при max|y|, то называют L вариацией функционала.

Другое определение.

Рассмотрим производную функционала v[y(x)+ y] по  при =0.

Вариация функционала v[y(x)] равна: .

Замечание. Если существует вариация в смысле первого определения, то существует и в смысле второго, однако существуют примеры функционалов, для которых нельзя выделить главную линейную часть, но вариация в смусле второго определения существует.

Определение. Функционал v[y(x)] достигает на кривой y=y₀(x) максимума, если значения функционала v[y(x)] на любой близкой к y=y₀(x) кривой не больше чем v[y₀ (x)]. В этом случае v0.

Аналогично вводится определение строгого максимума, минимума и строгого минимума.

Теорема. Если функционал имеющий вариацию, достигает максимума или минимума при y=y₀(x) (внутренней точки области определения функционала), то при y=y₀(x)v=0.

Доказательство. При фиксированных y₀(x) и y, v[y₀+y] является функцией только , по предположению достигает экстремума при =0.

Следовательно производная по  обращается в ноль.

Уравнение Эйлера.

Исследуем на экстремум функционал .

Граничные точки допустимых кривых закреплены: y(x₀)=y₀, y(x₁)=y₁.

интегрируя по частям получим

Но , поэтому необходимое условие экстремума:

Основная лемма вариационного исчисления.

Если для каждой непрерывной функции (x)

Где функция (x) непрерывна на отрезке [x₀,x₁], то (x)0.

Доказательство. От противного. Если существует точка где (x)0, то она в силу непрерывности сохраняет знак в некоторой окрестности этой точки, выберем (x) так, чтобы она тоже сохраняла знак в этой окрестности, а в остальных точках равна нулю, тогда очевидно .

Применим лемму для упрощения необходимого условия

или

Замечание. Краевая задача

, y(x₀)=y₀, y(x₁)=y₁.

Не всегда имеет решение, причём может иметь и не единственное решение.

Пример. На каких кривых может достигать экстремума функционал

уравнение Эйлера имеет вид: y”+y=0.

y=C₁cosx+C₂sinx. Из граничных условий y=sinx.

Рассмотрим некоторые простейшие случаи интегрирования уравнения Эйлера.

1. F не зависит от y’: F_y(x,y)=0 кривая не содержит элементов произвола и лишь в исключительных случаях удовлетворяет граничным условиям.

2. F линейно зависит от y’: F=M(x,y)+N(x,y)y’

уравнение Эйлера:

или

M_y-N_x=0.

Как и предыдущем случае кривая вообще говоря не удовлетворяет граничным условиям, если же M_y-N_x0, то Mdx+Ndy - полный дифференциал и интеграл не зависит от пути интегрирования, то есть вариационная задача теряет смысл.

3. F зависит лишь от y’: F=F(y’), уравнение Эйлера F_yyy’’=0

y=C₁x+C₂.

4. F зависит лишь от x и y’. уравнение Эйлера , может быть проинтегрировано F_y(x,y’)=C₁

Полученное уравнение первого порядка не содержит y, а следовательно может быть проинтегрировано, например с помощью введения параметра.

5. F зависит лишь от y и y’.

Ур-е Эйлера F_y-F_yyy’-F_yyy’’=0, если домножить на y’ свернётся в полную производную , интегрируя (F-y’F_y)=C₁. Это уравнение не содержит x и может быть проинтегрировано методом разделения переменных или введения параметра.