Теория вероятностей для РАФ / 5_Типовой вариант ИДЗ 1 Дискретная случайная величина

Индивидуальное домашнее задание № 1 «Дискретная случайная величина»

Типовой вариант:

Стрелок, имеющий 4 патрона, стреляет по мишени до первого попадания или пока не кончатся патроны. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,7.

I. Пусть – число промахов. Для случайной величины требуется: 1) составить закон распределения, 2) найти основные числовые характеристики (математическое ожидание, моду, дисперсию, среднее квадратическое отклонение), 3) найти функцию распределения, 4) построить график функции распределения.

II. Пусть – событие, состоящее в том, что в результате одного испытания случайная величина примет значение, принадлежащее промежутку . Найти вероятность того, что в независимых испытаниях событие произойдет: 1) точно раз; 2) от до раз; 3) не больше, чем раз; 4) не меньше, чем раз.

Решение типового варианта.

I. 1) Случайная величина принимает 5 возможных значений:

.

Найдем вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения. Для этого введем в рассмотрение вспомогательные события

.

По условию

.

Событие означает, что стрелок попал в мишень при первом же выстреле, т.е.

.

Поэтому

.

Событие означает, что при первом выстреле стрелок промахнулся, а при втором – попал, т.е.

.

В таком случае в силу независимости событий и имеем:

.

Аналогично находим вероятности значений и :

,

.

Наконец, событие означает, что стрелок промахнулся при всех четырех выстрелах, т.е.

.

Тогда

.

На основе полученных результатов выпишем закон распределения случайной величины :

	0	1	2	3	4	■
	0,3	0,21	0,147	0,1029	0,2401

2) Математическое ожидание случайной величины найдем по формуле

,

где – число различных значений случайной величины (в данном случае ). Имеем:

.

Мода дискретной случайной величины есть ее наиболее вероятное значение, т.е. значение, имеющее наибольшую вероятность. В данном случае таким значением является , следовательно,

.

Дисперсию случайной величины найдем по формуле

.

Имеем:

.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины есть квадратный корень из дисперсии. Имеем:

. ■

3) Функция распределения случайной величины , принимающей различных значений

с вероятностями соответственно, имеет вид

В данном случае имеем:

или

■

4 ) Построим график функции (рис. 1).

II. Найдем вероятность события . Так как события и несовместны, то

.

1) Так как число испытаний достаточно велико, для вычисления вероятности того, что в испытаниях событие наступит ровно раз, воспользуемся локальной формулой Муавра-Лапласа

,

где – вероятность наступления события в каждом отдельном испытании, , , – функция Гаусса.

Имеем: , , . Следовательно,

, ,

, ,

. ■

Замечание. Значение функции Гаусса можно найти либо с помощью инженерного калькулятора, либо по таблице значений функции Гаусса.

2) Пусть – случайная величина, равная числу наступлений события в независимых испытаниях. Вероятность того, что в испытаниях событие наступит от до раз, найдем по интегральной формуле Муавра-Лапласа

,

где , , – функция Лапласа.

Имеем: , , , . Следовательно,

, .

Значение функции Лапласа найдем по таблице значений функции Лапласа:

.

Что же касается значения , то его в таблице значений функции Лапласа нет. Дело в том, что при всех с очень большой точностью имеет место приближенное равенство . Поэтому мы возьмем . Тогда

. ■

3) Событие, состоящее в том, что в независимых испытаниях событие наступит не больше, чем раз, очевидно, равносильно событию, состоящему в том, что событие наступит от до раз. Поэтому искомая вероятность есть

,

где

, .

Имеем: , , . Следовательно,

, ,

, ,

. ■

4) Событие, состоящее в том, что в независимых испытаниях событие наступит не меньше, чем раз, равносильно событию, состоящему в том, что событие наступит от до раз. Поэтому искомая вероятность есть

,

где

, .

Имеем: , , . Следовательно,

, ,

, ,

. ■

5