Теория вероятностей для РАФ / 2_Типовой вариант к. р. 2 Классическое и геометрическое определения вероятности

Контрольная работа № 2

«Классическое и геометрическое определения вероятности»

Типовой вариант:

1. Шесть человек случайным образом садятся в ряд. Найти вероятность того, что два определенных человека не будут сидеть рядом.

2. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что «герб» выпадет не более одного раза.

3. На отрезке длины числовой оси наудачу поставлены две точки и , причем . Какова вероятность того, что длина отрезка окажется меньше ?

Решение типового варианта.

1. Эксперимент состоит в том, что 6 человек случайным образом садятся в ряд. Каждый возможный исход этого эксперимента представляет собой перестановку из 6 элементов. Следовательно, общее число исходов равно числу перестановок 6 элементов:

.

Рассмотрим событие

и противоположное ему событие

.

Найдем число исходов, благоприятствующих событию . Число пар соседних мест, на которые могут сесть два определенных человека, очевидно, равно 5. Если пара соседних мест, на которые должны сесть два определенных человека, уже выбрана, то они могут занять эти два места двумя способами, а остальные 4 человека могут произвольным образом занять оставшиеся 4 места. Общее число способов, которыми 4 человека могут занять 4 места, равно числу перестановок 4 элементов, т.е. . По правилу произведения число исходов, благоприятствующих событию , будет равно

.

Отсюда следует, что число исходов, благоприятствующих событию , равно

.

Так как все исходы эксперимента несовместны и равновозможны, то согласно классическому определению вероятности получаем:

. ■

2. Результат эксперимента, состоящего в четырехкратном бросании монеты, представляет собой упорядоченную выборку с повторениями объема 4 из двух элементов («герб» и «решка»). Следовательно, общее число исходов такого эксперимента равно числу размещений с повторениями из 2 элементов по 4 элемента:

.

Рассмотрим событие

.

Событию благоприятствуют 5 исходов: 1 исход, состоящий в том, что все 4 раза выпадает «решка», и 4 исхода, при которых на одном броске выпадает «герб», а на остальных – «решка». Таким образом,

.

Следовательно,

. ■

3. Координаты точек и удовлетворяют неравенствам

.

Введем в рассмотрение прямоугольную декартову систему координат . В этой системе координат указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей треугольнику (рис. 1), ограниченному прямыми

.

Следовательно, этот треугольник можно рассматривать как фигуру, все точки которой представляют собой все возможные исходы эксперимента, состоящего в том, что на отрезке ставятся две точки и такие, что .

Рассмотрим событие

.

Событию удовлетворяют точки и такие, что , т.е.

.

Это неравенство выполняется для координат тех точек треугольника , которые лежат выше прямой . Из рис. 1 видно, что все такие точки принадлежат трапеции . Следовательно, трапецию можно рассматривать как фигуру, все точки которой благоприятствуют событию . Согласно геометрическому определению вероятности имеем:

.

Найдем площади указанных фигур:

,

.

Тогда

. ■

3