Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей для РАФ / 0_Задачи по теории вероятностей.pdf

Скачиваний:

101

Добавлен:

25.04.2015

Размер:

363.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

131. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей

0,	если x ≤ −π 2,
f (x)= A(1 +cos 2x),	если −π 2 < x ≤π 2,
	если x >π 2.
0,	если x >π 2.

Найти параметр A и вычислить математическое ожидание случайной величины X .

132.Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд.

133.Цена деления амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышаю-

щая 0,02 А.

134.Среднее время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) плотность распределения и функцию распределения; б) вероятность того, что в течение 100 ч прибор не выйдет из строя.

135.Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина X с параметрами a =173 см и σ =6 см, найти: а) долю костюмов третьего роста (170-176 см), которую нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы; б) долю костюмов четвертого роста (176-

182 см);	в) квантиль уровня α =0,1; г) правостороннюю критическую границу уровня
α =0,1;	д) двусторонние критические границы уровня α =0,1. Сформулировать для слу-

чайной величины X правило «трех сигма».

136. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 500 г. Каков процент коробок, масса которых: а) менее 470 г; б) находится в пределах от 500 до 550 г; в) более 550 г;

г) отличается от средней по абсолютной величине не более, чем на 30 г?
137.	Текущая цена акции распределена нормально с параметрами a =15					$ и σ =0,2		$ .
Найти	вероятность	того, что		цена акции: а) не выше	15,3 $ ; б) не	ниже	15,4	$ ;
в) находится в пределах от 14,9			$ до 15,3 $ . С помощью правила «трех сигма» найти гра-
ницы, в которых будет находиться цена акции.
138.	Цена ценной бумаги распределена нормально. В течение последнего года 20% ра-
бочих дней она была ниже 88				$ , а 75% рабочих дней она была выше		90 $ . Найти:
а) математическое		ожидание	и	среднее квадратическое	отклонение цены		бумаги;

б) вероятность того, что в день покупки цена бумаги будет заключена в пределах от 83 $ до 96 $ . С надежностью 0,95 определить максимальное отклонение цены бумаги от ее среднего значения по абсолютной величине.

139. Квантиль уровня α =0,15 нормально распределенной случайной величины X ра-

вен 12, а квантиль уровня β =0,6

равен 16. Найти математическое ожидание и среднее

квадратическое отклонение случайной величины X .

Ответы

1. 151200. 2. 5040.

3. 100000. 4. 13800.

5. 81.

6. nk .

7. 15600. 8. 40320.

9. 2mn .

10.

2n !

. 11. 18 19! .

12. (n −2)!. 14. 792.

15.

C5226

. 16.

52!

. 17. C486 . 18. 32.

19. 26.

(2n − m)!

(13!)4

20. 165. 21. а) 84; б) 286.

22. 495.

23. а) 210;

б) 420;

в) 151200.

24. а) 20; б) 288;

в) 504;

г) 5120; д) 17856; е) 193536.

25.

= {либо

ничьявыиграллибовторойигрок};

A + B ={выигралодинизигроков(

ничья)};

событие);

неA + B = Ω (достоверное

− B = {ничья}.

26.

A − B ={ровноодноизчетырехизделий

бракованныявляетсям};

= A − B .

27. а)

A = ,

B = Ω;

б) A = Ω,

B = ;

в) A = B .

28. Нет.

29.

AB ={наоднойизкостейвыпало1очко, а на другой- 4 очка};

= {на одной изкостей выпало 2 очка, а на другой- 3 очка}.

30.

ABC ={обапрыгнулидальшечемна6 м, ноюношапрыгнулдальшедевушки};

A − AB ={юношапрыгнулдальшечемна6 м, нонедальшедевушки};

C = A − AB .

31. а) A

; б)

; в)

ABC ;

г)

A + B +C ; д)

AB + BC + AC ; е)

C ;

ж)

+ A

C +

BC ;

з)

;

и)

32.

A1 A2 (A3 + A4 ).

34. а)

A ;

б)

;

ABC

в) B + AC ; г) A + B +C .

35.

36.

37. а)

C63 C433

≈ 0,01765 ;

б)

C64 C432

≈ 0,00097 ;

C496

в)

C65 C431

≈ 0,000018 ;

г)

≈ 0,000000071 . 38.

349

. 39. 0,1512 .

40. 0,297 .

41. а)

;

C496

595

б)

;

в)

42.

43.

44.

45. а)

;

б)

;

в)

. 46.

47.

48.

12!

≈ 0,0000054 . 49.

. 50.

51.

. 52.

53.

54.

105

. 55.

(k −1)(n − k ).

1212

216

210

256

Cn2

56.а) 4; б) 13.

57.1 . 58. 1 . 59. 2 . 60. 3 . 61. 251 . 62. 2 . 63. 1 . 64. 3 +ln 4 .

4 4 π 4 800 3 2 9

	65.						1			. 66.					1	. 67.						65 −			2 55	=	1526	. 68.		1		. 70. События зависимы. 73. а) 0,855 ;
	65.					n		−1		. 66.				8		. 67.							65 −55			=	4651	. 68.				. 70. События зависимы. 73. а) 0,855 ;
						n		−1						8									65 −55				4651		756						13				228						1081						125
б) 0,14 ; в) 0,995 . 74. а) 0,188 ; б) 0,024 ; в) 0,788 .																														75. а)					13		;	б)	228		; в)				1081			.	76.		125				.
				1							2							1																187				1309							1309					1296
77.	а)			1	;			б)			2		;		в)			1		. 78.					0,166 .		79. 0,568 .				80. а) 0,0404 ;									б) 0,3024 ;								в) 0,4404 .
77.	а)				;			б)		3			;		в)			3		. 78.					0,166 .		79. 0,568 .				80. а) 0,0404 ;									б) 0,3024 ;								в) 0,4404 .
	32									3								3																												2
81.	Вероятность выигрыша для игрока, бросающего монету первым, равна																																													2	; для второго
81.																																														3	; для второго
																					1																									3
игрока						она					равна										1		.		82. 0,5 .		83. 0,42504 .							84. 5.				85.		p p			2	(p		3	+ p		4	− p	3	p	4	).
игрока						она					равна												.		82. 0,5 .		83. 0,42504 .							84. 5.				85.		p p				(p			+ p			− p		p		).
																		3																						1
86.		p1 (p2 + p3 − p2 p3 )p4 (1 − p5 )+ p5 .
					2								n + 2									2				3		3			11			23						19
	87.						. 88.												. 89.						. 90.		. 91.		. 92.				. 93.					. 94.				. 95. На машине A .
	87.				3		. 88.					2(n +1)							. 89.					5	. 90.	10	. 91.	10	. 92.		25		. 93.			45		. 94.		40		. 95. На машине A .
96.		1	. 97.					8	.	98.				8			.		99. Вероятность того,										что кабан убит первым охотником, в 6																							раз
	3						11							23

больше, чем вероятность того, что он убит вторым охотником; следовательно, кабана надо разделить в отношении 6:1.

	100. а) 0,01536 ; б) 0,9984 . 101. а) Так как		P4 (2)= 0,375 > P6 (3)= 0,3125 , то вероят-
нее выиграть две		партии из четырех,	чем три из шести; б) так как
P4	(m ≥ 2)= 0,6875 > P6	(m ≥ 3)= 0,65625 , то вероятнее выиграть не менее двух партий из

четырех, чем не менее трех из шести. 102. 0,2 . 103. 55. 104. 8. 105. а) 0,3125 ; б) 0,78125 .

106.	2	. 107. 0,4096 ; 3 и 4. 108. Не менее 299. 109. 0,54432 . 110. 0,25625 . 111. а) 0,0532 ;
106.
27
б) 0,4772 . 112. 0,99698 .					113. 0,9772 .										114. а) 0,0031;										б) 0,9197 .							115. а) 0,005399 ;
б) 0,9772 . 116. 0,3734 . 117. 0,981 .
118.
							X							3						4						;
							P						0,8							0,2						;
							P						0,8							0,2
										0,						если x ≤ 3,
							F(x)=			0,8,						если 3 < x ≤ 4,

																если x > 4.
										1,						если x > 4.
119.
				X				0						1						2					3
				P				5						15						9						1				;
				P				30						30						30					30
								30						30						30					30
										0,							если x ≤ 0,
											5
											5	,				если 0 < x ≤1,
												,				если 0 < x ≤1,
											30
											30
							F(x)=				20		,				если 1 < x ≤ 2,
							F(x)=						,				если 1 < x ≤ 2,
										30
											29		,				если 2 < x ≤ 3,

											30
											30						если x > 4;
										1,							если x > 4;

M (X )=1,2 ; D(X )= 0,56 ; σ(X )≈ 0,7483 ; Mo(X )=1.
120.
			X		0					1								2			3								4		;
			P		0,0024				0,0404						0,2144						0,4404						0,3024				;
			P		0,0024				0,0404						0,2144						0,4404						0,3024
M (X )= 3; D(X )= 0,7 ; σ(X )≈ 0,8367 ; Mo(X )= 3 .
121.
				X				1						2						3					4					;
				P				0,6			0,24								0,096					0,064						;
				P				0,6			0,24								0,096					0,064
M (X )=1,624 ; D(X )= 0,810624 ; σ(X )≈ 0,9003; Mo(X )=1.
122.
			X		0					1								2			3								4		;
			P		0,6561				0,2916						0,0486						0,0036						0,0001				;
			P		0,6561				0,2916						0,0486						0,0036						0,0001
M (X )= 0,4 ; D(X )= 0,36 ; σ(X )= 0,6 ; Mo(X )= 0 .
123.
					Y = 5X					–10								5				10						;
						P				0,4								0,3				0,3						;
						P				0,4								0,3				0,3

						Z = X 2								1						4						.
124.							P						0,3							0,7						.
							P						0,3							0,7
																																;
			Z = X +Y				–2				0							2					4						6			;

		P	0,05	0,32				0,3		0,24		0,09
		U = X −Y	–2		0				2		4	6		;
		P	0,15		0,36				0,26		0,2	0,03		;
		P	0,15		0,36				0,26		0,2	0,03

		V = XY	–8		–4	0				4		8	;
		P	0,03	0,02		0,8				0,06		0,09	;
		P	0,03	0,02		0,8				0,06		0,09
M (X )=1,6 ;	M (Y )= 0,4 ;		M (X +Y )= 2 ;			M (X −Y )=1,2 ; M (XY )= 0,64 ; D(X )= 3,04 ;
D(Y )=1,44 ;	D(X +Y )= 4,48 ; D(X −Y )= 4,48 .
125.
		Z = X +Y	0	1			2			3		4	;
		P	0,0144	0,1104			0,3124			0,3864		0,1764	;
		P	0,0144	0,1104			0,3124			0,3864		0,1764
M (Z )= 2,6 ; D(Z )= 0,9 ; σ(Z )≈ 0,9487 ; Mo(Z )= 3.
126.
		Z = X +Y	0	1				2		3		4		;
		P	0,05	0,3				0,2		0,3		0,15		;
		P	0,05	0,3				0,2		0,3		0,15
M (Z )= 2,2 ;	D(Z )=1,36 ; σ(Z )≈1,1662 ; Mo(Z )=1 и Mo(Z )= 3.

127. а) f (x)= 2x,

P(0,5 ≤ X ≤1)= 0,75 ;

	π			1
P		≤ X ≤π	=		.
P	3	≤ X ≤π	=	2	.
	3			2
F(x)= 0,				1)e−2 x ,
		1 −(2x +		1)e−2 x ,

M (X )= 0 .					132.

если x ≤ 0,

б) M (X )=

D(X )=

в) P(X = 0,5)= 0 ,

если 0 < x ≤1,

;

если x >1;

если x ≤ 0,

P(X < 0,5)= 0,25 .

128. F(x)=

1 −cos x,

если 0 < x ≤π 2,

если x >π 2;

129. P (2)

3(π + 2)2 (3π − 2)

≈ 0,2967 .

130. A = 4 ;

64π 3

если x < 0,

P(−1 ≤ X ≤1)=1

−3e−2 ≈ 0,594.

131. A =

;

если x ≥ 0;

если x < 0,

133.

0,6 .

134. а)

f (x)=

−

80 , если x ≥ 0,

если x < 0,

F(x)=

б) e−

135. а) P(170 ≤ X ≤176)≈ 0,383 ;

−

4 ≈ 0,2865 .

80 , если x ≥ 0;

−e

б)

P(176 ≤ X ≤182)≈ 0,2417 ;

в) K0,1

≈165,32 ;

г) B0,1 ≈180,68 ;

д) B0,1 ≈163,13 ,

≈182,87 ;

правило

«трех

сигма»:

P(155 ≤ X ≤191)≈ 0,9973 .

B0,1

136. а) P(X < 470)≈ 0,002 ;

б) P(500 ≤ X ≤ 550)≈ 0,6096 ;

в) P(X > 550)≈ 0,3409 ;

г)

X −540

≤ 30)≈ 0,7814 .

137. а) P(X ≤15,3)≈ 0,9332 ;

б) P(X ≥15,4)≈ 0,0228 ;

в)

14,9 ≤ X ≤15,3)≈ 0,6247 .

С вероятностью 0,9973 , т.е. практически достоверно, что

цена акции будет находиться в границах от 14,4

$ до 15,6 $ .

138. а) a ≈ 98,09, σ ≈11,98 ;

б)

P(83 ≤ X ≤ 96)≈ 0,3287 . С вероятностью 0,95

отклонение цены бумаги от ее среднего

значения по абсолютной величине не превысит 23,48

$ . 139. a ≈15,21,

σ ≈ 3,1.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке Теория вероятностей для РАФ

#
25.04.2015363.61 Кб1010_Задачи по теории вероятностей.pdf
#
25.04.201573.22 Кб501_Типовой вариант к. р. 1 Комбинаторика.doc
#
25.04.2015168.45 Кб462_Типовой вариант к. р. 2 Классическое и геометрическое определения вероятности.doc
#
25.04.2015221.18 Кб453_Типовой вариант к. р. 3 Формулы сложения и умножения, формула полной вероятности, формула Бернулли.doc
#
25.04.2015207.36 Кб514_Типовой вариант Тест 1 Действия над событиями. Основные теоремы теории вероятностей.doc
#
25.04.2015313.34 Кб675_Типовой вариант ИДЗ 1 Дискретная случайная величина.doc