86. Рассчитать вероятность отказа электрической цепи, изображенной на рис. 2, если все элементы выходят из строя независимо друг от друга и вероятность выхода из строя элемента i равна pi ( i =1, 2, 3, 4, 5 ).

Рис. 2

Формула полной вероятности и формулы Байеса

87.В урну, содержащую два шара, опустили белый шар, после чего из нее извлекли один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если все предположения о первоначальном составе шаров в урне равновозможны.

88.В урну, содержащую n шаров, опустили белый шар, после чего из нее извлекли один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если все предположения о первоначальном составе шаров в урне равновозможны.

89.В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую урну. После этого из второй урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в третью урну. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, окажется белым.

90.В ящике содержится 3 белых и 7 черных шаров. Вынимается один шар и откладывается в сторону. Какова вероятность того, что следующий вынутый шар будет белым?

91.Имеется 10 симметричных монет: 8 стандартных и 2 нестандартных, у которых «герб» находится на обеих сторонах. Наудачу взятая монета подбрасывается три раза. Найти вероятность того, что «герб» выпадет все три раза.

92.В первой урне содержится 3 белых и 2 черных шара, во второй – 1 белый и 2 черных шара. Из первой урны во вторую перекладывают 2 шара, после чего из второй урны вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

93.В первой урне содержится 3 белых и 2 черных шара, во второй – 1 белый и 2 черных шара. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары высыпали в третью урну, после чего из нее извлекли один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

94.В первой урне содержится 5 шаров с номерами 1, 2, …, 5, во второй – 10 шаров с номерами 1, 2, …, 10. Для выбора урны подбрасывают две монеты. Если выпадают два «герба», то выбирается первая урна, в остальных случаях выбирается вторая урна. Из выбранной урны наудачу вынимается один шар. Найти вероятность того, что номер вынутого шара – четное число.

95.Продукцию фабрики производят три машины. Машина A производит 60% всей продукции, машина B – 25%, а остальную продукцию производит машина C . У машины A брак составляет 1% ее продукции, у машины B – 1,2%, у машины C – 2%. Случайно выбранная единица продукции оказалась бракованной. На какой машине вероятнее всего произведена эта единица продукции?

96.В ящике содержится 3 белых и 7 черных шаров. Из ящика наудачу вынимается один шар и откладывается в сторону. Следующий вынутый из ящика шар оказался черным. Какова вероятность того, что отложенный в сторону шар был белым?

6

97.Имеется 4 кубика с цифрами 1, 2, …, 6 на гранях и одна правильная треугольная пирамида с цифрами 1, 2, 3, 4 на гранях. Наугад выбрали один предмет и подбросили. Выпала грань с цифрой 4. Найти вероятность того, что взяли кубик.

98.Число грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки, относится к числу легковых машин как 2:5. Вероятность того, что грузовая машина будет заправляться, равна 0,2, а для легковой машины эта вероятность равна 0,15. У бензоколонки заправляется машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

99.Два охотника одновременно и независимо друг от друга стреляют в кабана. Известно, что первый стрелок попадает с вероятностью 0,8, а второй – с вероятностью 0,4. Кабан убит и в нем обнаружена одна пуля. Как делить кабана?

Формула Бернулли.

Локальная и интегральная формулы Лапласа. Формула Пуассона

100. Вероятность банкротства для каждого малого предприятия за определенное время t равна 0,2. Найти вероятность того, что за время t из шести малых предприятий сохранятся: а) только два; б) не менее двух.

101.Два равносильных соперника играют в шахматы (ничьи исключены). Что более вероятно: а) выиграть 2 партии из четырех или 3 партии из шести; б) не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из шести?

102.Вероятность того, что хотя бы в одной из четырех перфокарт содержится ошибка, равна 0,5904. Какова вероятность ошибки в каждой отдельной перфокарте, если она одинакова для всех перфокарт?

103.Сколько надо взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных деталей было равно 50, если вероятность брака для каждой детали равна 0,1?

104.Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров.

105.В семье 5 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, определить вероятность того, что в данной семье: а) три мальчика; б) мальчиков не менее двух, но не более четырех.

106.Какова вероятность выпадения хотя бы двух шестерок при бросании трех игральных костей?

107.В помещении 4 лампы. Вероятность безотказной работы в течение года для каждой лампы равна 0,8. Найти вероятность того, что к концу года будут гореть 3 лампы. Каково наивероятнейшее число ламп, которые будут гореть в течение года?

108.Партия деталей содержит 1% брака. Каков должен быть объем выборки, чтобы вероятность обнаружения в ней хотя бы одного бракованного изделия была не менее 0,95?

109.Производится залп из 6 орудий по объекту. Вероятность попадания из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий.

110.В кошельке лежат 8 монет достоинством 5 копеек и 2 монеты достоинством 3 копейки. Наудачу выбирается монета и подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что в сумме наберется 15 очков, если «герб» дает 0 очков?

111.Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 300 найденных грибов белых будет: а) 75; б) от 75 до 90?

112.Текст содержит 20000 букв. Каждая буква может быть напечатана неправильно с вероятностью 0,0004. Какова вероятность того, что в данном тексте не менее двух опечаток?

113.При социологических опросах каждый ответ является неискренним с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что из 22500 опрошенных неискренний ответ дадут не более 4620 человек.

7

114.Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что: а) тираж содержит 5 бракованных книг; б) по крайней мере 9998 книг сброшюрованы правильно.

115.Контрольную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50% студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов с первого раза успешно выполнят работу: а) 180 студентов; б) не менее 180 студентов.

116.Телефонная станция обслуживает 600 абонентов. Для любого абонента вероятность позвонить в течение часа равна 0, 005. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят один или два человека?

117.Завод отправил в магазин 5000 лампочек. Вероятность того, что лампочка разобьется при транспортировке, равна 0,0002. Найти вероятность того, что в магазин привезут не более трех разбитых лампочек.

Дискретные случайные величины

118. Случайная величина X принимает два возможных значения x1 и x2 , причем известно, что x1 < x2 и p1 =P(X = x1 )=0,8 . Найти закон распределения и функцию распределения случайной величины X , если M (X )=3,2 , D(X )=0,16 . Построить график функ-

ции распределения.

119. Среди десяти приборов три являются неточными. Случайная величина X – число неточных приборов среди взятых наудачу четырех приборов. Найти закон распределения и функцию распределения случайной величины X , а также ее числовые характеристики M (X ), D(X ), σ(X ) и Mo(X ). Построить график функции распределения.

120.Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, для второго станка эта вероятность равна 0,8, для третьего – 0,7, для четвертого – 0,6. Случайная величина X – число станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа. Найти закон распределения случайной величины X и ее числовые характеристики.

121.Радист вызывает корреспондента не более четырех раз, причем каждый следующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не был принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна 0,6. Случайная величина X – число сделанных вызовов. Найти закон распределения случайной величины X и ее числовые характеристики.

122.В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди четырех наудачу выбранных. Найти числовые характеристики рассматриваемой величины.

123.Случайная величина X задана законом распределения

Найти законы распределения случайных величин Y =5X и Z = X 2 .

124. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения

8

M (X −Y )=M (X )−M (Y ), D(X −Y )=D(X )+ D(Y ),

M (XY )=M (X )M (Y ).

125.Два стрелка сделали по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0, 6, а для второго – 0,7. Составить закон распределения общего числа попаданий и найти числовые характеристики построенной случайной величины.

126.На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из этих станков:

Составить закон распределения общего числа бракованных изделий и найти числовые характеристики построенной случайной величины.

Непрерывные случайные величины

127. Случайная величина X задана функцией распределения

ожидание и вычисленные вероятности.

128. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей

0, если x ≤ 0,

f (x)= sin x, если 0 < x ≤π 2,0, если x >π 2.

Найти функцию распределения F(x) и вероятность того, что случайная величина X при-

нимает значение, принадлежащее отрезку [π3; π].

129. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей

Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина X ровно два раза примет значение, принадлежащее интервалу [0; π4].

130. Дана функция

При каком значении параметра A данная функция является плотностью распределения некоторой случайной величины X ? Для этой случайной величины найти функцию распределения и вероятность P(−1≤ X ≤1).

9