Теория вероятностей для РАФ / 6_Типовой вариант ИДЗ 2 Непрерывная случайная величина

Индивидуальное домашнее задание № 2 «Непрерывная случайная величина»

Типовой вариант:

Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей

Требуется определить: 1) параметр ; 2) функцию распределения ; 3) математическое ожидание ; 4) дисперсию и среднее квадратическое отклонение ; 5) моду ; 6) медиану ; 7) вероятность . Построить графики функций и . Показать на графиках вероятность, найденную в пункте 7.

Решение типового варианта.

1) Параметр определим из условия

,

которому должна удовлетворять плотность распределения вероятностей любой случайной величины. Имеем:

.

Таким образом, для определения параметра получаем уравнение , откуда находим

.

Следовательно, плотность распределения вероятностей данной случайной величины есть

■

2) Функция распределения связана с плотностью распределения вероятностей соотношением

.

При имеем:

.

При имеем:

.

При имеем:

.

Таким образом,

■

3) Математическое ожидание случайной величины найдем по формуле

.

Имеем:

. ■

4) Дисперсию случайной величины найдем по формуле

.

Имеем:

.

Следовательно,

.

Среднее квадратическое отклонение есть квадратный корень из дисперсии:

. ■

5) Модой непрерывной случайной величины называется то ее значение, при котором плотность распределения вероятностей максимальна. Из вида функции ясно, что она принимает свое максимальное значение при , следовательно,

. ■

6) Медианой случайной величины называется такое значение , для которого вероятность события равна . В силу определения функции распределения медиана является решением уравнения

.

Поскольку при и при , то для отыскания медианы получаем систему

Решая эту систему, находим:

.

Таким образом,

. ■

7) По свойствам функции распределения имеем:

. ■

Построим графики функций

и

(рис. 1 и 2).

3