Теория вероятностей для РАФ / 4_Типовой вариант Тест 1 Действия над событиями. Основные теоремы теории вероятностей

Тест № 1

«Действия над событиями. Основные теоремы теории вероятностей»

Типовой вариант:

1. Пусть и – события, которые могут наступить в результате некоторого эксперимента. Доказать, что если , то .

2. Правильный тетраэдр, одна грань которого окрашена в синий цвет и три – в красный, подбрасывают до тех пор, пока он два раза подряд не упадет на грань одного и того же цвета. Пусть – событие, состоящее в том, что на -ом броске тетраэдр падает на грань синего цвета (). Записать событие , состоящее в том, что эксперимент закончится не позднее пятого броска. Найти вероятность этого события.

3. На девяти карточках написаны буквы: , , , , , , , , . Наудачу выбирают одну карточку. Событие состоит в том, что в выбранной карточке буква находится на -ом месте (). Являются ли события , , независимыми в совокупности?

Решение типового варианта.

1. Так как , то событие можно представить в виде суммы двух вариантов

.

По аксиоме сложения вероятностей несовместных событий имеем

,

откуда

,

что и требовалось. ■

2. Событие можно представить в виде суммы четырех вариантов

,

где – событие, состоящее в том, что эксперимент закончится на -ом броске (). В свою очередь, каждое из событий распадается на два варианта: 1) когда на двух последних бросках (-ом и -ом) тетраэдр падает на синюю грань и 2) когда на двух последних бросках он падает на красную грань. При этом ни на каких двух последовательных предыдущих бросках тетраэдр не падает на грань одного и того же цвета (в противном случае эксперимент закончился бы не на -ом броске, а раньше). Следовательно,

,

.

Тогда событие можно записать в виде

.

Найдем вероятность этого события. Поскольку тетраэдр является правильным, то для всех имеем

.

Очевидно, что варианты, из которых состоят события , несовместны, а множители, образующие эти варианты, независимы в совокупности. Тогда по аксиоме сложения вероятностей несовместных событий и формуле умножения вероятностей независимых событий получаем:

,

,

,

.

Применяя еще раз аксиому сложения вероятностей несовместных событий, находим:

. ■

Замечание. Вероятность события можно найти и более простым способом. Рассмотрим событие , противоположное к событию . Оно состоит в том, что эксперимент завершится позднее пятого броска, т.е. ни на каких двух последовательных бросках из первых пяти тетраэдр не упадет на грань одного и того же цвета. Следовательно,

.

Найдем вероятность события :

.

Тогда

. ■

3. По определению независимости событий , , в совокупности одновременно должны иметь место равенства

, (1)

означающие попарную независимость событий , , , и

. (2)

Проверим выполнение этих равенств. Так как общее число карточек равно 9, а число карточек, на которых буква находится на -ом месте (), равно 3, то согласно классическому определению вероятности для всех имеем

.

Событие состоит в том, что на выбранной карточке буква находится одновременно на первом и на втором местах. Поскольку такая карточка только одна, то

.

Аналогично находим, что

.

Так как

,

то равенства (1), очевидно, выполнены. Следовательно, события , , попарно независимы.

Осталось проверить справедливость равенства (2). Событие состоит в том, что на выбранной карточке буква находится сразу на всех трех местах. Так как имеется только одна такая карточка, то

.

В то же время

.

Таким образом, равенство (2) не выполняется, а это означает, что события , , независимыми в совокупности не являются. ■

3