Теория вероятностей для РАФ / 7_Типовой вариант Тест 2 Случайные величины

Тест № 2 «Случайные величины»

Типовой вариант:

1. Случайная величина имеет три возможных значения

.

Известны ее математическое ожидание и дисперсия:

.

Составить закон распределения случайной величины . Найти условную вероятность события при условии, что .

2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины на всей числовой прямой задана функцией

.

Найти функцию распределения случайной величины , квантиль уровня и двусторонние критические границы уровня .

3. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста длиной 30 м и шириной 8 м, сбросил одну бомбу. Случайные величины и – отклонения точки падения бомбы от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста – независимы и распределены нормально с дисперсиями, равными соответственно 36  и 16 . Найти вероятность того, что бомба попадет в мост.

Решение типового варианта.

1. Пусть – вероятность, с которой случайная величина принимает значение (). Тогда

,

,

.

По условию . Следовательно, для определения вероятностей , , получаем систему уравнений

или

Решая эту систему, находим:

.

Таким образом, закон распределения случайной величины есть

	–2	0	2	.
	0,1	0,4	0,5

Введем в рассмотрение события:

.

По определению условная вероятность события , вычисленная при условии, что произошло событие , есть

.

Событие , очевидно, является суммой двух несовместных событий и . Следовательно,

.

Событие состоит в одновременном наступлении событий и . Очевидно, что , и, следовательно,

.

Тогда

. ■

2. Учитывая определение модуля действительного числа, имеем:

Постоянную найдем из условия

,

которому должна удовлетворять плотность распределения вероятностей любой непрерывной случайной величины. Имеем:

.

Таким образом, для определения постоянной получаем уравнение , откуда находим . Тогда

Функция распределения связана с плотностью распределения вероятностей соотношением

.

При имеем:

.

При имеем:

.

Таким образом,

По определению квантиль уровня непрерывной случайной величины есть решение уравнения

,

где – функция распределения этой случайной величины. Ясно, что . С другой стороны, из выражения функции распределения данной случайной величины видно, что она принимает значения, меньшие, чем , только при . Следовательно, для определения квантиля уровня получаем уравнение

,

или

.

Отсюда получаем:

.

Следовательно, искомый квантиль уровня есть

.

По определению левая двусторонняя критическая граница уровня случайной величины есть квантиль уровня , т.е. решение уравнения

.

Поскольку и принимает значения, меньшие, чем , только при , для определения левой двусторонней критической границы имеем уравнение

.

Решим его:

.

Следовательно, левая двусторонняя критическая граница уровня есть

.

Правая двусторонняя критическая граница уровня случайной величины есть квантиль уровня , т.е. решение уравнения

.

Поскольку и принимает значения, большие, чем , только при , для определения правой двусторонней критической границы имеем уравнение

.

Решим это уравнение:

.

Следовательно, правая двусторонняя критическая граница уровня есть

. ■

3. Естественно считать, что прицеливание ведется по центру моста и систематических ошибок при прицеливании не имеется. В таком случае

.

Согласно условию

.

Пусть – событие, состоящее в том, что сброшенная бомба попадет в мост. Так как длина моста равна 30 м, а ширина – 8 м, то событие состоит в одновременном наступлении событий и . В силу независимости случайных величин и имеем:

.

По условию случайные величины и распределены нормально. Для вычисления вероятности воспользуемся формулой

.

Имеем:

,

где – функция Лапласа. Аналогично находим вероятность :

.

Тогда окончательно

. ■

5