Теория вероятностей для РАФ / 1_Типовой вариант к. р. 1 Комбинаторика

Контрольная работа № 1 «Комбинаторика»

Типовой вариант:

1. Сколько разных слов можно получить, переставляя буквы слова «ГАЛАКТИКА»?

2. Каким числом способов колоду из 52 карт можно раздать поровну двум игрокам так, чтобы каждому досталось по два короля?

3. Сколько различных четных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если а) каждую цифру можно использовать не более одного раза; б) цифры в числе могут повторяться?

4. Найти количество всех пятизначных чисел (первая цифра должна быть отлична от нуля), у которых сумма цифр равна 18.

Решение типового варианта.

1. Каждый вариант слова «ГАЛАКТИКА», полученный перестановкой его букв, будем рассматривать как перестановку с заданным числом повторений. В этой перестановке буква «Г» встречается раз, буква «А» – раза, буква «Л» – раз, буква «К» – раза, буква «Т» – раз и буква «И» – раз. Общее число таких перестановок можно найти по формуле

. ■

2. Требуется найти число способов, которыми можно сформировать первую половину колоды так, чтобы в ней было ровно два короля (остальные карты, среди которых также будет два короля, составят вторую половину колоды). Первая половина колоды должна состоять из двадцати четырех карт, не являющихся королями, и двух королей. Совокупность двадцати четырех карт, не являющихся королями, есть неупорядоченная бесповторная выборка объема 24 из 48 таких (не являющихся королями) карт, т.е. сочетание из 48 элементов по 24 элемента. Следовательно, число таких выборок равно числу сочетаний . Пара королей, попавших в первую половину колоды, представляет собой неупорядоченную бесповторную выборку объема 2 из 4 королей, т.е. сочетание из 4 элементов по 2 элемента. Следовательно, число таких выборок равно . По правилу произведения общее число способов образования половины колоды, достающейся первому игроку, а значит, и половины колоды, достающейся второму игроку, так, чтобы в каждой из них было по два короля, равно

. ■

3. Каждое четырехзначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, есть упорядоченная –выборка. Так как число должно быть четным, то его последняя (младшая) цифра должна быть четной. Следовательно, эту цифру можно выбрать только двумя способами: ею может быть или цифра 2 или цифра 4.

а) Если все цифры в числе должны быть различными, то уже выбранная младшая цифра не может еще раз встретиться в числе. Поэтому последовательность трех старших цифр четырехзначного числа представляет собой упорядоченную бесповторную –выборку, т.е. –размещение. Число таких размещений равно

.

Учитывая, что младшую (четную) цифру можно выбрать двумя способами, по правилу произведения получаем количество различных четных четырехзначных чисел, в которых каждая из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 встречается не более одного раза:

. ■

б) Если цифры в числе могут повторяться, в частности, уже выбранная младшая цифра может встретиться в числе еще несколько раз, то последовательность трех старших цифр является упорядоченной повторной –выборкой, т.е. –размещением с повторениями. Число таких размещений равно

.

Учитывая, что младшую цифру можно выбрать двумя способами, по правилу произведения найдем количество всех четных четырехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 и 5:

. ■

4. Эта задача равносильна задаче о количестве способов, которыми можно разложить 18 одинаковых шаров по пяти различным урнам. Так как первая урна не должна быть пустой, положим в нее один шар, а оставшиеся 17 шаров произвольным образом разложим по пяти урнам (включая и первую). Припишем каждому из этих 17 шаров номер урны, в которую мы собираемся его положить. Полученная совокупность номеров представляет собой неупорядоченную повторную выборку объема 17 из 5 номеров урн, т.е. сочетание с повторениями из 5 элементов по 17 элементов. Рассмотрим, например, выборку 15125553233311255. Присутствие в ней четырех цифр 1, трех цифр 2, четырех цифр 3 и шести цифр 5 означает, что четыре из 17 оставшихся шаров попадут в первую урну, три – во вторую, четыре – в третью и шесть – в пятую. Так как цифра 4 в выборке не встречается ни разу, то в четвертую урну не попадает ни один шар. Общее число сочетаний с повторениями из 5 элементов по 17 элементов равно

.

Заметим, что представленная выше выборка 15125553233311255 соответствует пятизначному числу 53406 (мы учли, что одна единица заранее добавлена в старшую позицию числа). Легко проверить, что сумма цифр в полученном числе равна 18. ■

2