Теория вероятностей для РАФ / 3_Типовой вариант к. р. 3 Формулы сложения и умножения, формула полной вероятности, формула Бернулли

Контрольная работа № 3 «Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса. Формула Бернулли»

Типовой вариант:

1. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,9; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что: а) только один снаряд попадет в цель; б) только два снаряда попадут в цель; в) все три снаряда попадут в цель; г) хотя бы один снаряд попадет в цель.

2. Имеется четыре одинаковых на вид ящика с электрическими лампочками. Первый ящик содержит 10 исправных и 2 бракованные лампочки, второй и третий ящики содержат по 5 исправных и по 5 бракованных лампочек, а четвертый ящик содержит 10 только исправных лампочек. Наудачу выбирается один ящик и из него извлекается одна лампочка. 1) Найти вероятность того, что эта лампочка окажется исправной. 2) Наудачу взятая лампочка оказалась исправной. Найти вероятность того, что она вынута из четвертого ящика.

3. Бросают 7 игральных костей. Найти вероятность того, что не менее чем на двух из них выпадет число очков, большее 2.

4. По каналу связи передается 5 сообщений. Каждое сообщение искажается независимо от других с одной и той же вероятностью. Известна вероятность того, что будет искажено хотя бы одно из 5 сообщений: она равна 0,83193. Найти вероятность того, что будут искажены ровно 2 сообщения.

Решение типового варианта.

1. Введем в рассмотрение три события

.

Согласно условию

.

Тогда

.

а) Рассмотрим событие

.

Это событие можно представить в виде суммы трех вариантов:

.

Согласно аксиоме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

.

Поскольку в каждом варианте отдельные множители являются независимыми, то по формуле умножения вероятностей независимых событий получаем:

. ■

б) Рассмотрим событие

.

Аналогично предыдущему пункту имеем:

,

. ■

в) Рассмотрим событие

.

Событие имеет только один вариант:

.

По формуле умножения вероятностей независимых событий имеем:

. ■

г) Рассмотрим событие

.

Так как событие имеет целых семь вариантов, целесообразнее перейти к противоположному событию

Для этого события имеем:

,

.

Тогда

. ■

Заметим, что вероятность события можно найти и другим способом. Легко видеть, что это событие можно представить в виде

.

Так как события , и несовместны, то

. ■

2. Рассмотрим четыре гипотезы

.

Так как ящики на вид одинаковы, то выбор каждого из них равновозможен, т.е.

.

1) Рассмотрим событие

.

Для нахождения вероятности события воспользуемся формулой полной вероятности

,

где – условная вероятность события , вычисленная при условии, что имело место событие .

Найдем условные вероятности . Поскольку общее число лампочек в первом ящике равно 12, а число исправных из них равно 10, то в силу классического определения вероятности имеем:

.

Аналогично находим остальные условные вероятности:

.

Тогда

. ■

2) Пусть событие произошло, т.е. наудачу взятая лампочка оказалась исправной. Чтобы найти вероятность того, что эта лампочка вынута из четвертого ящика, т.е. условную вероятность события при условии, что событие произошло, воспользуемся формулой Байеса

.

Имеем:

. ■

3. Рассмотрим событие

.

Вероятность наступления этого события в каждом отдельном испытании, состоящем в бросании одной игральной кости, очевидно, равна

,

а вероятность того, что это событие не наступит в отдельном испытании, равна

.

Требуется найти вероятность события

.

Перейдем к противоположному событию

.

Событие имеет два варианта: первый состоит в том, что в испытаниях событие не наступает ни разу, а второй – в том, что в испытаниях событие наступает один раз. Следовательно, по аксиоме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

.

Вероятности и найдем по формуле Бернулли:

,

.

Тогда

,

и, следовательно,

. ■

4. Рассмотрим событие

.

Пусть – вероятность наступления события в каждом отдельном испытании, состоящем в передаче одного сообщения.

Обозначим через количество искаженных сообщений из переданных сообщений. По условию

.

Переходя к противоположному событию, получаем:

.

Но вероятность легко выразить через вероятность события с помощью формулы Бернулли:

.

Следовательно, для определения вероятности получаем уравнение

,

откуда находим:

,

,

.

Теперь нетрудно найти вероятность того, что из переданных сообщений будут искажены ровно 2 сообщения. По формуле Бернулли имеем:

. ■

4