§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение)

П р а в и л о вычисления производной сложной функции. Для нахождения производной сложной функции y = f( (x)) следует производную данной функции по промежуточному аргументу yu = f (u)

умножить на производную ux = (x) промежуточного

аргумента по независимому аргументу.

З а м е ч а н и е. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов, «вложенных» друг в друга, несколько. Так, если y = f(u), где u = (v), v = (x), то

yx = fx (u(v(x))) = yu uv vx (x).

П р и м е р 4. Найти производную: y = f(x) = (3x2 + 1)2. Решение: По правилу дифференцирования сложной

функции имеем: y = ((3x2 + 1)2) = 2 (3x2 + 1) (3x2 + 1) = = 2 (3x2 + 1) 3 (x2) = 2 (3x2 + 1) 3 2 x = 12x (3x2 + 1).

Ответ: y = ((3x2 + 1)2) = 12x (3x2 + 1).

§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение)

Т е о р е м а 7. Если функция y = f(x) строго монотонна на интервале (a; b) и имеет отличную от нуля производную f (x) в каждой точке x (a; b), то обратная ей функция x = (y) также имеет производную (y) в соответствующей точке, равную: (y) = , или xy = .

Доказательство: Рассмотрим обратную функцию x =(y). Дадим аргументу y приращение y 0. Ему соответствует приращение x обратной функции, причем x 0 в силу строгой монотонности «прямой» функции y = f(x). Поэтому = (*).

Если y 0, то в силу непрерывности обратной функции приращение x 0. И так как = f (x) 0, то из

(*) имеем:

(y) = = = , или xy = , ч.т.д.

§5. Производные сложной и обратной функций (продолжение)

П р а в и л о вычисления производной обратной функции. Производная обратной функции равна

обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают также как

yx = ,или = .

П р и м е р 5. Найти производную данной функции y = f(x) и функции, обратной к данной: y = = (x 1)1/3.

Решение: Функция f(x) является строго монотонно возрастающей. Для вычисления обратной функции достаточно выразить x из уравнения y = f(x): x = (y) = y3 + 1. Тогда xy = 3y2. Следовательно, yx = = = .

Ответ: xy = 3y2 и yx = (x 1) 2/3.

§6. Производные основных элементарных функций

Степенная функция y = xn, n N. Вычисление производной: Заметим, что

согласно биному Ньютона

(x + x)n = xn + nxn 1 x + xn 2( x)2 + … +

+ xn k ( x)k + … + ( x)n.

Тогда y = (xn) = = nxn 1.

З а м е ч а н и е. Результат может быть обобщен на случай произвольных показателей степени k R. Вообще:

y = (xk) = kxk 1, k R. Вычисление производной: По определению

y = (xk) = = xk 1 =

= {t = x/x} = xk 1 = kxk 1.

§6. Производные основных элементарных функций (продолжение)

Вычисление производной:

1. Вычислим вначале производную функции y = ex:

y = (ex) = = ex = ex.

Здесь мы воспользовались следствием 2-го замечательного предела:

=1.

2.Вычислим производную показательной функции y = ax при произвольном основании a >

0, a 1, как сложной функции, заметив, что ax =

ex lna:

y = (ax) = (ex lna) = ex lna (x lna) = ax lna.

§6. Производные основных элементарных функций (продолжение)

Логарифмическая функция y = logax, a > 0,

a 1.

Вычисление производной:

1. Вычислим вначале производную функции y = lnx:

y = (lnx) = = = = .

Здесь мы воспользовались следствием 2-го замечательного предела:

= 1.

2. Вычислим теперь производную логарифмической функции y = logax при

произвольном основании a > 0, a 1, как сложной функции, заметив, что logax = :

y = (logax) = () = (lnx) = .

§6. Производные основных элементарных функций (продолжение)

Тригонометрические функции: y = sin x, y

= cos x, y = tg x, y = ctg x.

Вычисление производной:

1. Найдем производную функции y = sin x по

определению:

y = (sin x) = = =

= = 1 cos x = cos x.

Здесь мы воспользовались 1-ым замечательным пределом:

=1.

2.Вычислим производную функции y = cos x, как

сложной функции, заметив, что y = cos x = : y = (cos x) = () = () = sin x.

§6. Производные основных элементарных функций (продолжение)

3. Найдем производную функции y = tg x как

производную частногo: y = (tg x) = () = =

= = .

Здесь мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством:

sin2 x + cos2 x = 1.

4. Аналогично вычислим производную функции y = ctg x:

y = (сtg x) = () = =

= = .

§6. Производные основных элементарных функций (продолжение)

Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Вычисление производной:

1. Найдем производную функции y = arсsin x (x

[-½ ; ½ ]) по правилу дифференцирования обратной функции, заметив, что x = sin y (y

[ 1; 1]):

y = yx = (arcsin x) = = = = .

2. Найдем производную функции y = arсcos x (x

[0; ]) по правилу дифференцирования обратной функции, заметив, что x = cos y (y

[ 1; 1]):

y = yx = (arccos x) = = = = .

§6. Производные основных элементарных функций (продолжение)

3. Найдем производную функции y = arсtg x (x

[-½ ; ½ ]) по правилу дифференцирования обратной функции, заметив, что x = tg y (y [ ;

]):

y = yx = (arctg x) = = cos2 y = = . 4. Совершенно аналогично вычисляется

производная функции y = arcctg x (x [0; ]): y = (arcctg x) = .

П р и м е р 6. Найти производные данных функций: а) y = esinx; б) y = arcsin; в) y = (1 +

x2) 1/3.

а) y = (esinx) = esinx cos x;

б) y = (arcsin) = () = = x 2/3 = ;

в) y = ((1 + x2) 1/3) = (1 + x2) 4/3 2x = .