Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»

Рекомендуемая литература

1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.: Лань, 2007. – 448 с.

2.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с.

3.Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с.

4.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с.

5.Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Содержание лекции

§1. Задачи, приводящие к понятию производной

§2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Дифференцируемость. Уравнение касательной и нормали к кривой

§3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

§4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций

§5. Производные сложной и обратной функций

§6. Производные основных элементарных функций

§7. Таблица производных

§1. Задачи, приводящие к понятию производной

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и др. наук, в особенности при изучении скорости протекания различных процессов.

§1. Задачи, приводящие к понятию производной (продолжение)

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение M, то в момент времени t + t, где t – приращение времени, точка займет новое положение M , так что расстояние от него до точки отсчета составит OM = S(t + t) = S(t) + S, где S – приращение расстояния. Т.о., перемещение т. M за время t составит S = S(t + t) S(t).

Df: Средней скоростью движения м.т. за времяt называется отношение приращения расстоянияS к приращению времени t: Vср = .

Df: Предел средней скорости м.т. при t 0 называется мгновенной скоростью V и

выражается как

V = = .

Говорят, что скорость есть производная пути S(t).

§1. Задачи, приводящие к понятию производной (продолжение)

Касательная к кривой

Дадим общее определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки M и M1 (см. рис.). Прямую ММ1, проходящую через эти

точки, называют секущей. Пусть точка M1, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к

§1. Задачи, приводящие к понятию производной (продолжение)

Дадим общее определение касательной к непрерывной кривой на плоскости Oxy, заданной уравнением y = f(x) (см. рис).

Прямая линия (секущая кривой), проходящая через две точки кривой M(x0; y0 = f(x0)) и F(x1; y1 = f(x1)), даётся уравнением вида

y = kx + b:

y(x) = y0 + (x x0).

Как и следует, y y0 при x x0 и y y1 при x x1.

§1. Задачи, приводящие к понятию производной (продолжение)

Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) секущей определяется как

k = .

По мере того, как точка x1, двигаясь вдоль кривой y = f(x), приближается к точке x0, т.е. при x1 x0,

угловой коэф-т k секущей стремится к некоторому своему предельному значению

k0 = tg = = = y (x0). Здесь обозначено x = x1 x0.

Df: Прямая линия с угловым коэффициентом k0,

предельная для семейства секущих, называется касательной к кривой y = f(x) в точке x0.

Говорят, что угловой коэффициент касательной k0 = = tg есть производная зависимости y = f(x).

§2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Дифференцируемость. Уравнение касательной и нормали к кривой

Пусть функция y = f(x) определена на некотором интервале D = (a; b). Дадим абсциссе x0 (a; b)

малое приращение x такое, что x0 + x (a; b). Вычислим приращение функции y = f(x0 + x) f(x0). Величина предела отношения приращения

функции к приращению аргумента при x 0 играет важную роль в анализе.

Df: Производной функции y = f(x) в точке x0

называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при x 0:

y (x0) = = = f (x0).

Производную функции в т. x, если она существует обозначают также как: fx , yx , , .

§2. Определение производной … (продолжение)

Df: Функция y = f(x), имеющая производную в каждой точке некоторого интервала (a; b), где она определена, называется дифференцируемой в (на) интервале (a; b); операция вычисления производной функции называется ее дифференцированием.

Врезультате дифференцирования функции y

=f(x) получается производная функция y = f (x).

Значение производной функции y = f (x) в точке x0 обозначается как: f (x0), y (x0), .

П р и м е р 1. Найти производные функций: а) y = C = Const; б) y = x; в) y = x2.

Решение: а) y (x) = 0; б) y (x) = = 1; в) y (x)

= = = 2x.