ФБГОУ ВПО Уральский государственный педагогический университет – УрГПУ Математический факультет Кафедра высшей математики

Классическое определение вероятности. Основные понятия и определения

•Определение: Предметом теории вероятностей (ТВ) является изучение вероятностных закономерностей однородных случайных событий.

•Определение: Под испытанием (синонимы: опыт, эксперимент) будем понимать любой процесс, происходящий вокруг нас при осуществлении некоторой совокупности условий S. Результаты испытаний называют событиями. Т.о., событие есть результат испытания.

•Наблюдаемое множество событий можно подразделить на следующие три непересекающиеся типа (подмножества):

достоверные, невозможные и случайные.

•Определение: Достоверным называют событие, которое при данном испытании обязательно произойдет, если будет осуществлена необходимая совокупность условий S. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при совокупности условий S. Случайным называют событие, которое при условиях S может либо произойти, либо не произойти.

Основные понятия и определения ТВ (продолжение)

•В ТВ события разделяют также на несовместные и совместные.

•Определение: Случайные события называются несовместными (взаимоисключающими), если появление одного из них исключает появление других в том же испытании. Если появление одного событие не исключает появление другого в том же испытании, то события называют совместными.

•Исключительно важную роль в ТВ играет понятие полной группы событий.

•Определение: Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно появится, но только одно, из них.

•Исключительно важную роль в ТВ играет также понятие

равновозможности (равновероятности) событий.

•Определение. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

•З а м е ч а н и е. Основанием для заключения о равновозможности событий могут служить соображения геометрической симметрии, физической однородности и т.п.

Основные понятия и определения ТВ (продолжение)

•Определение: Случайное событие называют

элементарным событием (или исходом), если оно «неразложимо» в данном испытании на более простые события или такое «разложение» не имеет смысла в данной задаче.

•Определение: Множество всех элементарных событий (исходов), связанных с данным опытом, называют

пространством (множеством) элементарных событий, которое отождествляется с достоверным событием.

•Пространство элементарных событий традиционно обозначают символом = { 1; 2; …; n}, где 1; 2; …; n элементарные события, составляющие в совокупности пространство элементарных событий . Исходы 1; 2; …; n следует понимать как элементарные непересекающиеся подмножества множества , играющего роль универсального множества.

•Интересующее исследователя событие A можно рассматривать как m – элементное подмножество (m n) пространства (множества) элементарных исходов из : A = { k1; k2; …; km}.

Основные понятия и определения ТВ (продолжение)

•Мы определили объекты дальнейшего изучения – случайные события – как множества. Сопоставим некоторые теоретико-множественные понятия с

Определение вероятности: классическая схема с конечным числом равновероятных исходов

•Пусть пространство элементарных событий конечно:

= { 1; 2; …; n},

•где 1; 2; …; n - элементарные события, составляющие в совокупности пространство элементарных событий , имеют вероятности, соответственно, p1; p2; …; pn. В силу того, что событие достоверно, его вероятность равна единице:

•P( ) = P( 1) + P( 2) + … + P( n) = p1 + p2 + … + pn = 1.

•Предположим, что в силу некоторых условий, вероятности всех элементарных событий 1; 2; …; n одинаковы и равны p: p1 = p2 = … = pn = p. В этом случае, P( ) = n p = 1, откуда p = 1/n.

•Пусть интересующему исследователя событию A отвечает m исходов (m n) из : k1; k2; …; km. Тогда вероятность события A равна (по определению):

•P(A) = m/n.

Статистическое определение вероятности. Устойчивость относительной частоты

• Недостатком классического определения вероятности является необходимость в априорном предположении о равновероятности элементарных событий, составляющих пространство элементарных событий . Далеко не всегда такое предположение удается убедительно обосновать. В этом случае приходится прибегать к альтернативным способам определения вероятности.

• Длительные наблюдения показали, что при проведении достаточно большого числа вероятностных экспериментов в воспроизводимых условиях S относительная частота w(A) обнаруживает свойство устойчивости (стабилизации), стремясь к некоторому постоянному пределу.

Статистическое определение вероятности (продолжение)

• П р и м е р. Опыты Бюффона – Пирсона по бросанию монеты:

• Определение: Число, около которого группируются относительные частоты при увеличении числа испытаний, (формально при n ) называют статистической вероятностью рассматриваемого события A:

• P(A) = limw(A) = lim(m/n) при n .

• З а м е ч а н и е. Для существования статистической вероятности события A требуется: (а) принципиальная возможность производить неограниченное число испытаний в воспроизводимых условиях S; (б) наблюдаемая устойчивость относительных частот w(A).

Задачи для коллективного решения

•Задача 1. Найти вероятность того, что в 4-хзначном номере случайно выбранного в большом городе автомобиля сумма первых двух цифр равна сумме двух последних.

•Задача 2. Из 28 костей домино случайно выбираются две. Найти вероятность того, что из них можно составить цепочку согласно правилам игры.

•Задача 3. В записанном телефонном номере три последние цифры стерлись. Найти вероятность того, что по крайней мере две из них совпадают.

•Задача 4. Из множества всех последовательностей длины 10, состоящих из цифр 0, 1, 2, случайно выбирается одна. Найти вероятность того, что выбранная последовательность содержит ровно 4 единицы.

•Задача 5. Из ящика, содержащего шары с номерами 1, 2, 3, 4 вынимают по одному все шары. Найти вероятность того, что хотя бы у одного шара порядковый номер совпадет с собственным.