2.2. Центр и радиус графа

Вершина , для которой

,

называется внешним центром графа G; и аналогично вершина , для которой

,

называется внутренним центром графа G.

У графа может быть несколько внешних и внутренних центров. Таким образом, они образуют множества внешних и внутренних центров соответственно.

Число внешнего разделения вершины , являющейся внешним центром, называется внешним радиусом:; число внутреннего разделения внутреннего центра называется внутренним радиусом:.

У графа изображенного на рис. 2.1, с матрицей расстояний, приведенный выше, имеются только один внешний и один внутреннийцентры. Внешний радиус графа равен 15, а внутренний 27.

2.3. Абсолютный центр графа

Соотношения и определяют числа разделения для любой вершины в графе. Это определение можно обобщить на случай «искусственных точек», которые можно помещать на дугах.

Итак, если представляет дугу графа с весом, то точкаy, помещаемая на этой дуге, может быть определена посредством задания длины участкапричем должно выполняться равенство

.

Числа разделения иточкиy независимо от того, является она вершиной графа G или искусственной точкой дуги графа G определяются следующим образом:

,

.

Точка , для которой

,

называется абсолютным внешним центром графа; и аналогично определяется - абсолютный внутренний центр.

Число внешнего разделения абсолютного внешнего центра называется абсолютным внешним радиусом , и число внутреннего разделения абсолютного внутреннего центра называется абсолютным внутренним радиусом:.

Местоположение "искусственных точек" можно определить с помощью алгоритма Хакими или классическим методом, который можно использовать после генерации "искусственных точек".

2.4. Кратные центры (р-центры) графа

Понятие центра графа допускает следующее обобщение: можно рассматривать не отдельную точку (центр), а множество из p точек, которые образуют кратный центр (p-центр).

Пусть - подмножество (содержащееp вершин) множества X вершин графа . Черезбудем обозначать наикратчайшее из расстояний между вершинами множестваи вершиной, т.е.

Аналогично

.

Подобно тому, как определялись числа разделения вершин, определяются числа разделения для множеств вершин:

,

,

где и- числа внешнего и внутреннего разделения множества.

Множество , для которого

,

называется p-кратным внешним центром графа G; аналогично определяется p-кратный внешний центр .

Для нахождения p-центра надо построить всевозможные множества вершин , содержащиеp вершин, а затем, непосредственно найти множества и, образующиеp-центры. Однако находить таким же способом p-центр целесообразно лишь для небольших графов и для небольших значений величины p.

2.5. Практическое применение задачи размещения центров

В практической деятельности постоянно возникают задачи "наилучшего" размещения оборудования или средств обслуживания в сложных системах. В частности, если граф представляет сеть дорог, и вершины соответствуют отдельным районам, то можно поставить задачу оптимального размещения больниц, пожарных частей и других необходимых предприятий и сервисных служб. В таком случае критерий оптимальности может состоять в минимизации расстояния (или времени проезда) от пункта обслуживания до самой удаленной вершины графа, т.е. в оптимизации "наихудшего варианта". В более общей задаче требуется разместить несколько таких пунктов обслуживания. При этом самая отдаленная вершина графа должна находиться, по крайней мере, от одного пункта обслуживания на минимально возможном расстоянии. К таким задачам относятся задачи размещения аварийных служб, и поэтому объективным требованием здесь является минимизация наибольшего расстояния от произвольной вершины графа до ближайшего к ней пункта обслуживания. Задачи такого типа называются минимаксными задачами размещения и полученные при решении этих задач места размещения пунктов обслуживания называются центрами графа.