2.5. Применение к сетевому планированию и управлению

Допустим, что нужно реализовать некий проект, состоящий из большого числа этапов. Мы можем изобразить каждый этап вершиной некоторого графа и построить дугу от вершины к вершине , чтобы показать, что этап i должен предшествовать этапу j. Каждой дуге приписывается некоторый вес , равный минимальной задержке во времени между началом этапа i и началом этапа j.

В задаче требуется найти минимальное время, необходимое для реализации проекта. Иными словами, нужно найти в графе самый длинный путь между вершиной s, изображающей начало, и вершиной t, изображающей завершение всех необходимых для реализации проекта работ. Самый длинный путь называется критическим путем, так как этапы, относящиеся к этому пути, определяют полное время реализации проекта, и всякая задержка с началом выполнения любого из этих этапов приведет к задержке выполнения проекта в целом.

Данную задачу можно решить как задачу нахождения кратчайшего пути, используя алгоритм Дейкстры, заменив операцию min на max.

3. Задание

3.1. Получить у преподавателя вариант задания.

3.2. Пользуясь алгоритмом Дейкстры найти кратчайшие пути между всеми вершинами графа.

3.3. Пользуясь алгоритмом Форда найти кратчайшие пути между всеми вершинами графа.

3.4. Пользуясь алгоритмом Флойда найти кратчайшие пути между всеми вершинами графа.

3.5. Сравнить алгоритмы Дейкстры и Флойда по времени вычислений кратчайших путей между всеми вершинами графа.

Варианты задания:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

4. Контрольные вопросы

4.1. Какие ограничения предъявляются к графам при решении задачи о кратчайшем пути?

4.2. Какие особенности графа следует учитывать при выборе алгоритма решения задачи о кратчайшем пути?

4.3. Опишите алгоритм Дейкстры.

4.4. Опишите алгоритм Форда.

4.5. Опишите алгоритм Флойда.

4.6. Как применятся данная теория в сетевом планировании и управлении?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

РАЗМЕЩЕНИЕ ЦЕНТРОВ И МЕДИАН В ГРАФАХ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучить и исследовать алгоритмы нахождения центров и медиан в графах.

2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

2.1. Разделения графа

Для любой вершины графапустьесть множество тех вершинграфаG, которые достижимы из вершины с помощью путей со взвешенными длинами, не превосходящими величины(– вес вершины,– длина кратчайшего пути от вершиныв вершину). Черезбудет обозначаться множество тех вершинграфаG, из которых вершина может быть достигнута с использованием путей, имеющих взвешенные длины.

Таким образом:

и (2.1)

.

Для каждой вершины определим следующие два числа:

и (2.2)

.

Числа и называются соответственно числом внешнего разделения и числом внутреннего разделения вершины . Следует отметить, что является наибольшим числом в строке матрицы, полученной в результате умножения каждого столбцаj матрицы расстояний на, а является наибольшим числом в столбце матрицы, полученной после умножения каждой строкиj матрицы расстояний D(G) на .

Рассмотрим в качестве примера ориентированный граф, изображенный на рис 2.1.

Рис. 2.1. Ориентированный граф G.

Матрица расстояний графа имеет вид:

D(G)=		x1	x2	x3	x4	x5	x6
	x1	0	5	6	9	9	13
	x2	9	0	1	4	4	8
	x3	12	7	0	3	5	9
	x4	9	4	5	0	2	6
	x5	7	2	3	6	0	4
	x6	3	8	9	12	10	0

с учетом вектора весов вершин получим матрицы и :

=		x1	x2	x3	x4	x5	x6
	x1	0	15	30	18	36	39	39
	x2	18	0	5	8	16	24	24
	x3	24	21	0	6	20	27	27
	x4	18	12	25	0	8	18	25
	x5	14	6	15	12	0	12	15*
	x6	6	24	45	24	40	0	45

=		x1	x2	x3	x4	x5	x6
	x1	0	10	12	18	18	26
	x2	27	0	3	12	12	24
	x3	60	35	0	15	25	45
	x4	18	8	10	0	4	12
	x5	28	8	12	24	0	16
	x6	9	24	27	36	30	0
		60	35	27*	36	30	42

Числа внешних и внутренних разделений приведены в присоединенных к матрицам столбце и строке соответственно.

Если - наименьшая длинаλ, такая, что для вершины

(т.е. все вершины графа G достижимы из с использованием путей, взвешенные длины которых не превосходят, причем- наименьшее из таких чисел), то из соотношений (2.1) и (2.2) следует равенство

.

Аналогично, если - такая наименьшая длина λ, что

,

то

.

Очевидно, что у графа G числа внешнего и внутреннего разделений любой вершины конечны только тогда, когда граф сильно связный, т.е. когда каждая вершина достижима из всякой другой вершины.