Кратные медианы (р-медианы) графа
Пусть
- подмножество вершин Х
графа
,
и предположим, что
содержит р
вершин. Введем следующие обозначения:
и (2.4)
.
Если
- вершина из
,
на которой достигается минимум в (2.4),
то говорят, что вершина
прикреплена к
.
Передаточные числа множества вершин
определяются так же, как и для одиночной
вершины:
и (2.5)
,
где
и
-
соответственно внешние и внутренние
передаточные числа множества вершин
.
Множество
,
для которого
,
называют
внешней р-медианой
графа G;
аналогично определяется внутренняя
р-медиана
графа
.
Приближенный алгоритм нахождения кратных медиан графа
Тэйц
и Барт предложили эвристический метод
для нахождения р-медианы.
Метод состоит в следующем: случайным
образом выбираются р
вершин, они и образуют начальное множество
S,
аппроксимирующее р-медианное
множество
.
Затем выясняется, может ли некоторая
вершина
заменить вершину
,
для чего строится новое множество
и сравниваются передаточные числа
и
.
Если
,
то вершина
замещается вершиной
и из множества S
получается множество
,
которое лучше аппроксимирует р-медианное
множество
.
Затем исследуется и преобразуется
множество
,
по вышеприведенной процедуре до тех
пор, пока не будет построено множество
,
такое, что ни одну его вершину нельзя
заместить вершинной из множества
и получить множество с меньшим передаточным
числом, чем
.
Множество S*
берется в качестве требуемого приближения
к множеству
.
Описание приближенного алгоритма:
Шаг
1. Выбрать некоторое множество S
из р
вершин в качестве начального приближения
к р-медиане.
Назовем все вершины
"неопробованными".
Шаг
2. Взять произвольную «неопробованную»
вершину и для каждой вершины
вычислить "приращение"
,
соответствующее замене вершины
вершиной
,
т.е. вычислить
.
Шаг
3. Найти
.
1.
Если
,
то назвать вершину
"опробованной".
2.
Если
,
то
и назвать все вершины множества
"неопробованными".
Шаг
4. Если все вершины из множества
опробованы, то конец алгоритма (текущее
множество S
является аппроксимацией р-медианного
множества
),
иначе перейти к шагу 2.
Этот алгоритм можно применить для нахождения р-центра.
Практическое применение задачи размещения медиан
В ряде задач о размещении пунктов обслуживания требуется так расположить обслуживания на графе, чтобы сумма кратчайших расстояний от этого пункта до вершин графа была минимально возможной. Оптимальное в указанном смысле место расположения пункта называется медианой графа. Исходя из природы целевой функции, такие задачи называют минисуммными задачами размещения. Эти задачи в различных формах часто встречаются на практике: при выборе места расположения коммутаторов в телефонной сети, подстанций в электросетях, баз снабжения в сети дорог, отделов сортировки в почтовой связи и т.д.