Лекция № 6

РАЗМЕЩЕНИЕ ЦЕНТРОВ И МЕДИАН В ГРАФАХ

Разделения графа

Для любой вершины графа пусть есть множество тех вершин графа G, которые достижимы из вершины с помощью путей со взвешенными длинами , не превосходящими величины ( – вес вершины , – длина кратчайшего пути от вершины в вершину ). Через будет обозначаться множество тех вершин графа G, из которых вершина может быть достигнута с использованием путей, имеющих взвешенные длины .

Таким образом:

и (2.1)

.

Для каждой вершины определим следующие два числа:

и (2.2)

.

Числа и называются соответственно числом внешнего разделения и числом внутреннего разделения вершины . Следует отметить, что является наибольшим числом в строке матрицы , полученной в результате умножения каждого столбца j матрицы расстояний на , а является наибольшим числом в столбце матрицы , полученной после умножения каждой строки j матрицы расстояний D(G) на .

Рассмотрим в качестве примера ориентированный граф, изображенный на рис 2.1.

Рис. 2.1. Ориентированный граф G.

Матрица расстояний графа имеет вид:

D(G)=		x1	x2	x3	x4	x5	x6
	x1	0	5	6	9	9	13
	x2	9	0	1	4	4	8
	x3	12	7	0	3	5	9
	x4	9	4	5	0	2	6
	x5	7	2	3	6	0	4
	x6	3	8	9	12	10	0

с учетом вектора весов вершин получим матрицы и :

=		x1	x2	x3	x4	x5	x6
	x1	0	15	30	18	36	39	39
	x2	18	0	5	8	16	24	24
	x3	24	21	0	6	20	27	27
	x4	18	12	25	0	8	18	25
	x5	14	6	15	12	0	12	15*
	x6	6	24	45	24	40	0	45

=		x1	x2	x3	x4	x5	x6
	x1	0	10	12	18	18	26
	x2	27	0	3	12	12	24
	x3	60	35	0	15	25	45
	x4	18	8	10	0	4	12
	x5	28	8	12	24	0	16
	x6	9	24	27	36	30	0
		60	35	27*	36	30	42

Числа внешних и внутренних разделений приведены в присоединенных к матрицам столбце и строке соответственно.

Если - наименьшая длина λ, такая, что для вершины

(т.е. все вершины графа G достижимы из с использованием путей, взвешенные длины которых не превосходят , причем - наименьшее из таких чисел), то из соотношений (2.1) и (2.2) следует равенство

.

Аналогично, если - такая наименьшая длина λ, что

,

то

.

Очевидно, что у графа G числа внешнего и внутреннего разделений любой вершины конечны только тогда, когда граф сильно связный, т.е. когда каждая вершина достижима из всякой другой вершины.

Центр и радиус графа

Вершина , для которой

,

называется внешним центром графа G; и аналогично вершина , для которой

,

называется внутренним центром графа G.

У графа может быть несколько внешних и внутренних центров. Таким образом, они образуют множества внешних и внутренних центров соответственно.

Число внешнего разделения вершины , являющейся внешним центром, называется внешним радиусом: ; число внутреннего разделения внутреннего центра называется внутренним радиусом: .

У графа изображенного на рис. 2.1, с матрицей расстояний, приведенный выше, имеются только один внешний и один внутренний центры. Внешний радиус графа равен 15, а внутренний 27.

Абсолютный центр графа

Соотношения и определяют числа разделения для любой вершины в графе . Это определение можно обобщить на случай «искусственных точек», которые можно помещать на дугах.

Итак, если представляет дугу графа с весом , то точка y, помещаемая на этой дуге, может быть определена посредством задания длины участка причем должно выполняться равенство

.

Числа разделения и точки y независимо от того, является она вершиной графа G или искусственной точкой дуги графа G определяются следующим образом:

,

.

Точка , для которой

,

называется абсолютным внешним центром графа; и аналогично определяется - абсолютный внутренний центр.

Число внешнего разделения абсолютного внешнего центра называется абсолютным внешним радиусом , и число внутреннего разделения абсолютного внутреннего центра называется абсолютным внутренним радиусом: .

Местоположение "искусственных точек" можно определить с помощью алгоритма Хакими или классическим методом, который можно использовать после генерации "искусственных точек".

Кратные центры (р-центры) графа

Понятие центра графа допускает следующее обобщение: можно рассматривать не отдельную точку (центр), а множество из p точек, которые образуют кратный центр (p-центр).

Пусть - подмножество (содержащее p вершин) множества X вершин графа . Через будем обозначать наикратчайшее из расстояний между вершинами множества и вершиной , т.е.

Аналогично

.

Подобно тому, как определялись числа разделения вершин, определяются числа разделения для множеств вершин:

,

,

где и - числа внешнего и внутреннего разделения множества .

Множество , для которого

,

называется p-кратным внешним центром графа G; аналогично определяется p-кратный внешний центр .

Для нахождения p-центра надо построить всевозможные множества вершин , содержащие p вершин, а затем, непосредственно найти множества и , образующие p-центры. Однако находить таким же способом p-центр целесообразно лишь для небольших графов и для небольших значений величины p.

Практическое применение задачи размещения центров

В практической деятельности постоянно возникают задачи "наилучшего" размещения оборудования или средств обслуживания в сложных системах. В частности, если граф представляет сеть дорог, и вершины соответствуют отдельным районам, то можно поставить задачу оптимального размещения больниц, пожарных частей и других необходимых предприятий и сервисных служб. В таком случае критерий оптимальности может состоять в минимизации расстояния (или времени проезда) от пункта обслуживания до самой удаленной вершины графа, т.е. в оптимизации "наихудшего варианта". В более общей задаче требуется разместить несколько таких пунктов обслуживания. При этом самая отдаленная вершина графа должна находиться, по крайней мере, от одного пункта обслуживания на минимально возможном расстоянии. К таким задачам относятся задачи размещения аварийных служб, и поэтому объективным требованием здесь является минимизация наибольшего расстояния от произвольной вершины графа до ближайшего к ней пункта обслуживания. Задачи такого типа называются минимаксными задачами размещения и полученные при решении этих задач места размещения пунктов обслуживания называются центрами графа.