Лекция № 2 Достижимость и связность в графах

1. Компоненты графа

Ориентированный граф (орграф) называется сильно связным, если для любых двух различных вершин х_i и x_j существует, по крайней мере, один путь, соединяющий х_i с х_j. В таком графе любые две вершины взаимно достижимы.

Орграф называется односторонне связным, если для любых двух различных вершин х_i и x_j существует, по крайней мере, один путь из х_i в х_j или из x_j в х_i или оба одновременно.

Орграф называют слабо связным, если для любых двух различных вершин графа существует, по крайней мере, один маршрут (неориентированный двойник пути), соединяющий их.

Если для некоторой пары вершин орграфа не существует маршрута соединяющего их, то такой орграф называется несвязным.

Максимальным сильным подграфом графа G является сильно связный подграф, который не содержится в любом другом сильно связном подграфе. Такой подграф называется сильной компонентой графа G. Аналогично, односторонняя компонента представляет собой односторонне связный максимальный подграф, а слабая компонента - максимальный слабо связный подграф.

Сильная компонента содержится, по крайней мере, в одной односторонней компоненте, а односторонняя компонента содержится в некоторой слабой компоненте G, так как односторонние компоненты графа могут иметь общие вершины.

Например, в односторонне связном графе G, приведенном на рис. 1.1, порожденные подграфы <{x₁, x₂, х₅, х₆}>, <{х₁, х₂}> и <{х₁, х₂, х₆}> являются сильно связными подграфами, а подграф <{x₁, x₂, х₅, х₆}> является сильной компонентой графа G.

Рис. 1.1. Ориентированный граф G.

2. Матрицы достижимостей и контрадостижимостей

Матрица достижимостей R = [r_ij] определяется следующим образом:

Множество вершин R(x_i) графа G, достижимых из заданной вершины x_i, состоит из таких элементов x_j, для которых в матрице достижимостей равен 1. Все диагональные элементы в матрицеR равны 1, поскольку каждая вершина достижима из себя самой с помощью пути длины 0.

Поскольку Г(x_i) является множеством таких вершин x_j которые достижимы из x_i с использованием путей длины 1, то Г(x_i) является множеством вершин, для которых в графе существуют дуги (x_i, x_j). Соответственно множество Г(Г(x_i)) = Г²(x_i) состоит из вершин, достижимых из x_i с использованием путей длины 2. Аналогично Г^p(x_i) является множеством вершин, которые достижимы из x_i с помощью путей длины р.

Так как любая вершина графа G, которая достижима из x_i должна быть достижима с использованием пути (или путей) длины 0, 1, 2, …, р (число р меньше числа вершин в графе), то множество вершин достижимых из x_i, можно представить в виде

R(x_i)={x_i}Г(x_i)Г²(x_i)…Г^p(x_i). (1.1)

Таким образом, множество R(x_i) может быть получено последовательным выполнением (слева направо) операций объединения в соотношении (1.1), до тех пор, пока текущее множество не перестанет увеличиваться по мощности при очередной операции объединения. С этого момента последующие операции не будут давать новых членов множеству и, таким образом, будет образовано достижимое множество R(x_i).

Матрицу достижимостей можно построить следующим образом. Находим достижимые множества R(x_i) для всех вершин x_i  X способом, приведенным выше. Положим r_ij=1, если х_j  R(x_i), и r_ij=0 в противном случае. Полученная таким образом матрица R является матрицей достижимостей.

Матрица контрадостижимостей Q = [q_ij] определяется следующим образом:

Контрадостижимым множеством Q(x_i) графа G является множество таких вершин, что из любой вершины этого множества можно достигнуть вершины x_i. Аналогично построению достижимого множества R(x_i) на основе соотношения (1.1) можно сформировать множество Q(x_i), используя следующее выражение:

Q(x_i) = {x_i}Г^-1(x_i)Г^-2(x_i)…Г^-p(x_i), (1.2)

где Г^-2(x_i) = Г^-1(Г^-1(x_i)) и т. д.

Операции выполняются слева направо до тех пор, пока очередная операция объединения не перестанет изменять текущее множество Q(x_i).

Следует заметить, что столбец x_i матрицы Q совпадет со строкой x_i матрицы R, т. е. Q = R^T, где R^T – матрица, экспонированная к матрице достижимостей R.

Пример

Найти матрицы достижимостей и обратных достижимостей для графа G, приведенного на рис. 1.2. Матрица смежности данного графа имеет вид

A=		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
	x1	1	0	0	0	0	0	0
	x2	0	0	1	0	0	0	0
	x3	1	0	0	1	0	0	1
	x4	0	0	0	0	0	0	0
	x5	0	0	0	1	0	0	0
	x6	0	0	0	0	1	0	0
	x7	1	1	0	0	0	0	0

Рис. 1.2. Ориентированный граф G.

Множества достижимостей найдем с помощью (1.1):

R(x₁)={x₁}{x₁} ={x₁}

R(x₂)={x₂}{x₃}{x₁, x₄, x₇}{x₂, x₄}{x₁}={x₁, x₂, x₃, x₄, x₇}

R(x₃)={x₃}{x₁, x₄, x₇}{x₁, x₂}{x₁, x₃}={x₁, x₂, x₃, x₄, x₇}

R(x₄)={x₄}={x₄}

R(x₅)={x₅}{x₄}={x₄, x₅}

R(x₆)={x₆}{x₅}{x₄}={x₄, x₅, x₆}

R(x₇)={x₇}{x₁, x₂}{x₁, x₃}{x₁, x₄, x₇}{x₁, x₂}={x₁, x₂, x₃, x₄, x₇}

Следовательно, матрицы достижимостей и обратных достижимостей имеют вид

R=		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
	x1	1	0	0	0	0	0	0
	x2	1	1	1	1	0	0	1
	x3	1	1	1	1	0	0	1
	x4	0	0	0	1	0	0	0
	x5	0	0	0	1	1	0	0
	x6	0	0	0	1	1	1	0
	x7	1	1	1	1	0	0	1

Q=RT=		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
	x1	1	1	1	0	0	0	1
	x2	0	1	1	0	0	0	1
	x3	0	1	1	0	0	0	1
	x4	0	1	1	1	1	1	1
	x5	0	0	0	0	1	1	0
	x6	0	0	0	0	0	1	0
	x7	0	1	1	0	0	0	1

Нахождение матриц R и Q с вычислительной точки зрения является довольно простой задачей, поскольку объединение множеств в соответствии с выражениями (1.1) и (1.2) и сравнение текущих множеств после каждого объединения, проводимое для выяснения необходимости продолжения процесса построения соответствующих множеств - все это можно осуществить в математических пакетах и системах программирования.

Так как R(x_i) является множеством вершин, достижимых из x_i, a Q(x_j) - множеством вершин, из которых можно достигнуть x_j, то R(х_i)Q(x_j) - множество таких вершин, каждая из которых принадлежит, по крайней мере, одному пути, идущему от х_i к х_j. Эти вершины называются существенными относительно двух концевых вершин х_i и х_j. Все остальные вершины х_kR(х_i)Q(х_j) называются несущественными, поскольку их удаление не влияет на пути от х_i к х_j.

Матрицы достижимостей и обратных достижимостей, определенные выше, являются полными в том смысле, что на длины путей от х_i к х_j не накладывались никакие ограничения. С другой стороны, можно определить матрицы ограниченных достижимостей и контрадостижимостей – надо потребовать, чтобы длины путей не превышали некоторого заданного числа. Эти ограниченные матрицы тоже могут быть построены с помощью соотношений (1.1) и (1.2) – надо действовать точно так, как раньше, при нахождении неограниченных матриц, но только теперь р будет верхней границей длины допустимых путей.