4. Обобщения и приложения.

Задача раскраски в том «чистом» виде, в каком она рассматривалась выше в настоящей лекции, редко встречается на практике. Однако ее обобщения и разновидности (незначительно отличающиеся от нее) находят широкое применение в большом числе различных прикладных задач. Целью данного раздела является ознакомление читателя с несколькими наиболее часто встречающимися обобщениями. Список приложений, естественно, этими примерами не ограничивается.

4.1. Простая задача размещения (загрузки).

Рассмотрим задачу размещения (загрузки) n каких-то предметов по ящикам. Пусть каждый предмет соответствует определенной вершине графа G. Всякий раз, когда два предмета ине могут быть размещены в одном ящике (например, когда предмет может загрязнить предмет ), в граф G вводится ребро . Если ящики имеют неограниченную вместимость, так что в каждый из них можно поместить сколько угодно предметов, то задача нахождения наименьшего числа ящиков для размещения предметов эквивалентна задаче нахождения хроматического числа графа G; причем каждому ящику соответствует определенный «цвет», а предметы, окрашенные в один цвет, укладываются в один и тот же ящик.

4.2. Составление графиков осмотра (проверки).

В задачах теории расписаний осмотры представляются в виде временных интервалов. Каждому осмотру можно сопоставить вершину некоторого графа, причем две любые вершины графа будут соединены ребром лишь тогда, когда соответствующие им осмотры нельзя осуществлять одновременно. Требуется составить такой график осмотра, который связан с наименьшими временными затратами (с учетом приведенных выше ограничений на «совместимость» осмотров). Эта задача эквивалентна задач о раскраске вершин графа с использованием наименьшего числа цветов. Хроматическое число графа как раз и соответствует осмотру, требующему наименьших временных затрат.

4.3. Распределение ресурсов.

Пусть для выполнения каких-то n работ надо распределить m имеющихся в наличии ресурсов. Считаем, что каждая из работ выполняется за некоторый (одинаковый для всех работ) промежуток времени и что для выполнения i-й работы требуется подмножество ресурсов . Построим граф G: каждой работе соответствует определенная вершина графа, а ребро существует в графе тогда и только тогда, когда для выполнения i-й и j-й работ требуется хотя бы один общий ресурс, т. е. когда . Это означает, что i-я и j-я работы не могут выполняться одновременно. Раскраска графа G определяет тогда некоторое распределение ресурсов (по выполняемым работам), причем такое, что работы, соответствующие вершинам одного цвета, выполняются одновременно. Наилучшее использование ресурсов (т.е. выполнение всех n работ за наименьшие время) достигается при оптимальной раскраске вершин графа G.

7