4.1 Транспортная задача

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij

(2;1): 29 + 2 > 5; ∆₂₁ = 29 + 2 - 5 = 26

(2;3): 29 + 4 > 12; ∆₂₃ = 29 + 4 - 12 = 21

(3;1): 35 + 2 > 8; ∆₃₁ = 35 + 2 - 8 = 29

max(26,21,29) = 29

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 8

Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	2[10][-]	7	4[30][+]	3	40
2	5	39	12	7[30]	30
3	8[+]	1[20]	39[0][-]	13[30]	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

Цикл приведен в таблице (3,1 → 3,3 → 1,3 → 1,1).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 3) = 0. Прибавляем 0 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 0 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	2[10]	7	4[30]	3	40
2	5	39	12	7[30]	30
3	8[0]	1[20]	39	13[30]	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 2; 0 + v₁ = 2; v₁ = 2

u₃ + v₁ = 8; 2 + u₃ = 8; u₃ = 6

u₃ + v₂ = 1; 6 + v₂ = 1; v₂ = -5

u₃ + v₄ = 13; 6 + v₄ = 13; v₄ = 7

u₂ + v₄ = 7; 7 + u₂ = 7; u₂ = 0

u₁ + v₃ = 4; 0 + v₃ = 4; v₃ = 4

u₄ + v₃ = 0; 4 + u₄ = 0; u₄ = -4

	v1=2	v2=-5	v3=4	v4=7
u1=0	2[10]	7	4[30]	3
u2=0	5	39	12	7[30]
u3=6	8[0]	1[20]	39	13[30]
u4=-4	0	0	0[10]	0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij

(1;4): 0 + 7 > 3; ∆₁₄ = 0 + 7 - 3 = 4

(4;4): -4 + 7 > 0; ∆₄₄ = -4 + 7 - 0 = 3

max(4,3) = 4

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;4): 3

Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	2[10][-]	7	4[30]	3[+]	40
2	5	39	12	7[30]	30
3	8[0][+]	1[20]	39	13[30][-]	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

Цикл приведен в таблице (1,4 → 1,1 → 3,1 → 3,4).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	2	7	4[30]	3[10]	40
2	5	39	12	7[30]	30
3	8[10]	1[20]	39	13[20]	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₃ = 4; 0 + v₃ = 4; v₃ = 4

u₄ + v₃ = 0; 4 + u₄ = 0; u₄ = -4

u₁ + v₄ = 3; 0 + v₄ = 3; v₄ = 3

u₂ + v₄ = 7; 3 + u₂ = 7; u₂ = 4

u₃ + v₄ = 13; 3 + u₃ = 13; u₃ = 10

u₃ + v₁ = 8; 10 + v₁ = 8; v₁ = -2

u₃ + v₂ = 1; 10 + v₂ = 1; v₂ = -9

	v1=-2	v2=-9	v3=4	v4=3
u1=0	2	7	4[30]	3[10]
u2=4	5	39	12	7[30]
u3=10	8[10]	1[20]	39	13[20]
u4=-4	0	0	0[10]	0

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_j ≤ c_ij.

Минимальные затраты составят: F(x) = 4*30 + 3*10 + 7*30 + 8*10 + 1*20 + 13*20 + 0*10 = 720

Анализ оптимального плана.

Из 1-го склада необходимо груз направить в 3-й магазин (30), в 4-й магазин (10)

Из 2-го склада необходимо весь груз направить в 4-й магазин

Из 3-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (10), в 2-й магазин (20), в 4-й магазин (20)

Потребность 3-го магазина остается неудовлетворенной на 10 ед.

Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x₄₃=0.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Решение транспортной задачи

Вместе с этой задачей решают также:

Универсальная транспортная задача

Решение задачи коммивояжера

Решение задачи о назначениях

Расчет сетевого графика

Онлайн сдача дистанционных тестов

Copyright © Semestr.RU