ЛОГИНОВ Лекция 3

5.2. Вычислим дисперсии координаты и импульса в произвольном квантовом состоянии. Так как средняя координата и средний импульс для квантового осциллятора равны нулю, имеем

Определим произведение . Имеем

Таким образом,

(s.31)

В основном состоянии в соотношении неопределенности реализуется равенство

(s.32)

т.е. нулевая энергия есть наименьшая энергия, совместимая с соотношением неопределенностей.

Для произвольных

(s.33)

Таким образом, соотношение неопределенностей выполняется для состояний квантового гармонического осциилятора

При низких температурах атомы в молекуле или твердом теле совершают малые колебания вблизи положения равновесия. Экспериментальные исследования рассеяния света кристаллами показали, что при понижении температуры интенсивность рассеянного света стремиться не к нулю (как это следует из классической теории), а стремиться к некоторому предельному значению, даже в области абсолютного нуля температуры. Потенциальную энергию при низких температурах вблизи положения равновесия можно аппроксимировать квадратичным потенциалом и поэтому модель квантового гармонического осциллятора является здесь хорошим приближением. Рассмотрение в рамках этой модели действительно указывает на существование нулевых колебаний, отвечающих основному состоянию с энергией

В заключение пункта 5 отметим, что как это следует из обсуждения, основное состояние с и ближайшие к нему возбужденные состояния сильно отличаются от классических. Сильно возбужденные состояния с , напротив, мало отличаются от классических.

В общем случае, распределение координат частицы в произвольном квантовом состоянии с волновой функцией , описывается зависимостью (s.29). В основном состоянии распределение координат частицы представляет собой хорошо известное в теории вероятностей гауссово распределение:

(s.33)

показывающее, что частица в этом состоянии локализована в центральной области (- точка максимума). Для классического осциллятора распределение при В квантовом же случае при и существует отличная от нуля вероятность обнаружить частицу за пределами потенциальной ямы. При этом вероятность убывает экспоненциально за пределами области При распределение квантовой частицы сильно осциллирует в области , амплитуда осцилляций уменьшается и в среднем приближается к

Правила отбора. Интенсивность дипольного и квадрупольного излучения

Обсудим, не вдаваясь в подробности, задачу об излучении квантового гармонического осциллятора. На этой задаче будет проиллюстрирована еще одна особенность квантовых систем, связанная с так называемыми правилами отбора.

Дипольные переходы. Интенсивность спонтанного излучения (т.е. энергия излучения в единицу времени) с вышележащего уровня , с энергией на низколежащий уровень с энергией равна

(s.34)

где заряд, скорость света, Совокупность образуют матрицу. Для вычисления матричного элемента воспользуемся рекуррентными соотношениями для собственных функций

(s.35)

Из выражения (s.35) следует, что отличными от нуля будут только те матричные элементы (разрешенные переходы), для которых или , т.е. правила отбора для квантового состояния будут определяться формулой:

. (s.35)

Из правил отбора вытекает, что переходы возможны только между соседними уровнями.

В соответствие с правилами отбора имеем следующие отличные от нуля матричные элементы, связанные с дипольными переходами:

(s.36)

Напомним, что

Для частоты излучения, получаем

Поскольку спонтанные переходы возможны сверху вниз (), в соответствие с (s.34) для интенсивности излучения гармонического осциллятора находим

(s.37)

В области больших квантовых чисел , когда и в (s.37)

можно пренебречь энергией нулевых колебаний, полученное при этом выражение совпадает по форме результатом классического рассмотрения излучения гармонического осциллятора где под понимается энергия гармонического осциллятора усредненная по периоду колебаний

Квадрупольные переходы.