9-1

9. Межатомные связи в кристаллах. Классификация кристаллов по типам связи.

Известно, что в твёрдых телах атомы совершают колебания около положения равновесия. Положение равновесия определяется балансом сил, действующих на атомы, и обеспечивающих устойчивость кристаллической решётки и твёрдых тел. Эти силы могут иметь разную природу в разных твёрдых телах. И соответственно их можно разбить на 4 группы по их природе:

1. Молекулярные (с замкнутой (заполненной) электронной оболочкой, инертные газы, силы Ван-дер-Вальса)

2. Ионные (заряды, чисто Кулоновское взаимодействие) .

3. Ковалентные (Состоит из элементов с частично заполненной оболочкой (аналог химической)).

4. Металлическая.

Молекулярные силы Ван-Дер-Вальса:

– потенциал Ленарда-Джонса

.

Ковалентная связь – при образовании ковалентной связи выигрываем за счёт делокализации электрона, выигрываем за счёт притяжения соседним ядром, и проигрываем в энергии за счёт отталкивания электронами соседних атомов.

Металлические – при образовании кристалла выигрываем за счёт делокализации электронов.

Хактерные энергетические связи:

молекулярная эВ, ковалентная 23эВ, ионная 10 эВ, металлическая 1эВ.

Это классиф. по распределению электронной плотности в реальном - пространстве.

Распределение электронной плотности в -пространстве (Ме, п/п, диэлектрик)

- минимум потенциала электрона (положение равновесия).

Вблизи минимума потенциала энергия

такие колебания, соответствующие малым смещениям, называются гармоническими.

10-1

10. Гармонические колебания кристаллической решётки и нормальные моды колебаний решётки.

Степени свободы кристалла – это количество переменных которые необходимы, чтобы описать колебания кристалла.

эл. ячеек в кристалле, в каждой ячейке атомов, каждый атом может смещаться в трёх направлениях ().

- степеней свободы (полное число).

Дальнейший вывод уравнений колебания кристаллов аналогичен выводу уравнения колебаний грузика на пружине . Основное отличие – большее число степеней свободы.

В формализме Лагранжа: ; ; ;

; – это гармоническое приближение.

Смещение S-ого атома в R-й элементарной ячейке в J-ом направлении: ,

Вектор обозначает разные элементарные ячейки.

Всего таких параметров .

– кинетическая энергия

– потенциальная энергия.

Ограничимся только квадратичными членами, получим гармоническое приближение.

Слагаемые порядка больше 2 – ангармонические, получим ангармоническое приближение.

Введём силовой тензор:

- уравнение движения

Записанное соотношение представляет собой систему из ур. (нерешаемая задача)

С учётом теоремы Блоха будем искать решение в виде

– силовой тензор зависит от расстояния между ячейками (Сила действующая со стороны на в ячейках и соответственно)

11-1

11. Квантование колебаний решетки. Фононы. Экспериментальные методы исследования спектра фононов.

Любые колебания крист. можно представить в виде совокупности норм. мод. С другой стороны, согласно общим принципам квантовой механики, любые колебания можно представить в виде совокупности квантов колебаний. При этом Q – обощенная координата.

– лагранжево описание на языке обобщенных скорости и координаты

Существует другое описание (гамильт.):

– обощенный импульс

на языке операторов в квантовой механике

применим эту схему для описания колебаний решетки:

сумма гамильтонианов гармонического осцил.

– это ур-ние Шредингера для гарм. осцилл., соотв. норм. моде P.

– квант. энергия гарм. осцилл.

n – число квантов колебаний данного типа,

Фонон – квант колебаний кристаллической решетки. Т.о. различные классич. норм. моды колебаний кристалла на квантовом языке превращаются в различные фононы. Число типов фононов равно числу типов норм. колебаний. А число фононов данного типа опред. амплитуда колебаний нормальной моды – рожд. новые фононы.

(*)

– число фононов данной моды с заданной длиной волны.

Фонон – квазичастица (способ представления сложной системы в виде набора невзаимодействующих квазичастиц). Фононы не взаимодействуют в гармоническом приближении. Спина нет, заряда – нет.

Бозон – ф-ция распределения Бозе-Эйнштейна:

Число фононов не постоянно, они появляются и исчезают (колеб. системы). Число фононов определяется минимумом термодинамического потенциала . Условие минимума совпадает с определением

12 Классическая и квантовая теплоемкость решетки. Дебаевская температура.

В тв. телах существует два типа объектов, которые влияют на термодинамические свойства: носители зарядов и решетка.

В диэлектриках все термодинамическое св-ва определяется фононами (т.к. там нет своб. носителей заряда)

Расчет теплоемкости решетки:

; ; Фвктически

; где - вклад в энергию нулевых колебаний(он не дает вклада в теплоемкость, будем им пренебрегать)

Согласно классическим теории на каждую степень свободы приходится

;

Рассмотрим область низких температур

Если оптические моды вклада давать не будут, т.к. exp будет велика в формуле для <E> тогда можно представить

Если считать температуру низкой, то

; - при низких T вклад в теплоемкость фотонного газа

С_V фотонного газа аналогично изучению абсолютно тв. тела (з. Стефана-Больцмана для абсолютно черного тела)

При этом форм. для излучения черного тела на языке фононов всегда соответствует пределу крайне низких Т, т.к. выполняется для всех фотонов.

В классической теории существует проблема «ультрафиолетовой » катастрофы, связанной с увеличением числа частиц. Квантовая механика решила эту проблему за что знаменателя

Вычисление теплоемкости дял промежуточных температур.

Существуют две модели:

1)Эйнщтейна (рассматривает оптические моды колебаний , все колебания практически одинаковы)

12-1

13-1

13. Эффект Мессбауэра и фактор Дебая-Уоллера.

I – интенсивность рассеяния или дифракции рентгеновского излучения

Роль начального и конечного состояний играют:

- но тогда Лауэ считал, что атомы неподвижны;

– сумма по элем. яч.

- электронная плотность по отношению к центру

полное распределение электронной плотности ячейки

- атомный форм-фактор (интеграл можно вынести за знак Σ)

Выполним усреднение по всем возможным конфигурациям. Обозначим термодинамическое усреднение.

термодинамические максимумы не зависят от ячейки => выносим за знак Σ

р

изменение амплитуды рассеяния

фактор Дебая-Уоллера

езкие максимумы сохраняются

0

u²- среднеквадратичное смещение;

независящая от Т, определяется атомным форм-фактором

- определяет среднюю потенциальную энергию колебаний

14-1

14. Ангармонические эффекты в кристаллах. Тепловое расширение.

А

ф-ция распред. Максвелла-Больцмана

норм. константа

нгармонические эффекты – эффекты, связанные с выходом за рамки гармонического приближения.

гармоническое приближение

ангармонические эффекты

Как правило, вклад ангармонических слагаемых мал. Но существует ряд эффектов, само существование которых обуславливает ангармонические эффекты:

1) уширение однофононных максимумов в сечении неупругого рассеяния нейтронов;

2) тепловое расширение;

3) теплопроводность.

С точки зрения квантовой теории ангармонические эффекты приводят к взаимодействию фононов.

операторы уничтожения и рождения фононов

Квантовый гамильтониан фононов записывается следующим образом:

Тепловое расширение – еще один из ангармонических эффектов.

Кристалл не расш. без учета ангарм. членов, т.к.

(х – обобщенная координата)

Рассмотрим изменение среднего смещения с изменением Т:

- в ангарм. приближении (коэф. условны)

- при больших х становится меньше, но не имеет минимума

=> необходимо учитывать члены 4-го порядка

15-1

15. Теплопроводность решетки. Процессы переброса.

В диэл. и в значительной степени в п/п тепловодность кристалла определяется фононами. Для описания теплопроводности можно воспользоваться формулами МКТ:

Скорость фиксир. и при низких Т определяется скоростью звука

В гармоническом приближении фононы не взаим. друг с другом => рассеяние происходит только дефектах или на пов-ти образца конечных размеров. Т.е. в идеальном бесконечном кристалле но ангарм. члены в потенц. энергии приводят к рассеянию фононов.

Следует различать 2 вида процессов рассеяния:

1) нормальные процессы

N-процессы

2) процессы переброса

закон сохранения квазиимпульса выполняется с точностью до - вектора обр. решетки. Сохранение импульса возникает из инвариантности пространства относительно сдвига

Норм. процессы не приводят к ограничению теплопроводности, не меняют потока тепла. И только процессы переброса приводят к возникновению теплового сопротивления.

Матричный элемент описывает взаимодействие:

В крист. процессы рассеяния со сдвигом не приводят к нарушению закона сохр. импульса. Не возникает теплового сопротивления в процессах переноса.

I з. Брил.:

16-1

16. Взаимодействие эл-нов с колебаниями решетки. Деформационный потенциал.

Взаимодействие эл-нов с фононами имеет те же механизмы, что и взаимодействие со статичными атомами.

1) деформационный потенциал:

при смещении ат. решетки изменение межат. расстояния и углов м/у связями изменяет энерг. спектр крист., а следовательно и энергию эл-нов

П

n, n+1 – атомы

роще всего это понять в ППС:

2) Поляризационное взаимодействие

В ионных крист. при смещении атомов возникает эл-я поляризация элем. ячейки и связанное с ней эл. поле, кот. также изменяет энергию носителей заряда. При акустических колебаниях поляриз. ячейки не возникает (ат. смещ. синфазно) => они взаимодействуют с эл-нами посредством деформационного потенциала.

При оптических колебаниях атом. в ячейке смещ-ся друг относительно друга, взаимодействие опт. колебаний с эл-нами осуществляется как посредством деформ. потенциала, так и поляриз. взаимодействия. Т.к. дипольный момент ячейки меняется.

Ясно, что взаимодействие эл-нов с колебаниями и смещениями решетки не может меняться, т.к. тогда бы взаимодействие менялось и при сдвиге крист. как целого. Определяется только относительным смещением:

- симметричный тензор 2-го ранга, тензор деформации.

Силовые взаимодействия характеризуются тензором напряжений

Энергия – скаляр, её можно связать либо с деформацией, либо с напряжениями:

В главных осях:

В

след матрицы

случае, если точка лежит на оси симметрии

- относительное изменение объема кристалла при деформации;

12-2

2 ) Дебая ();

-число степеней свободы в этой сфере интегрирование равно числу степ. в кристалле.)

- объем для каждого фонона.

(главное чтобы не менялось число степеней свободы)

- предел интеграла по Дебаю. ()

- Дебаевская частота, соответствует максимальной возможной частоте колебаний решетки.

, Дебаевская температура- это температура, прм которой в системе возбуждены все нормальные моды и все фононы. (Si 625 k, Ge 360 K, Алмаз 1860 K)

12-2

Сопоставим 2 способа описания колебаний решетки, классич. и квантовомеханический:

Классический	Квантовомеханический
нормальные моды колебаний	Фононы данного типа
число различных норм. мод =3nN	число различных фононов =3Nn
типы мод: 3 – акуст., 3(n-1) – оптические	типы фононов: 3 – акуст., 3(n-1) – оптические
	– квазиимпульс, N значений
частота	Энергия
Амплитуда норм. мод:	Число фононов данного типа: