7.3 Содержание типового расчета

Четыре алгебраические кривые второго порядка заданы уравнениями вида  Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0.  Определить тип каждой кривой, найти ее основные параметры и сделать чертеж.

7.4 Пример выполнения типового расчета Условие типового расчета

Уравнения кривых заданы таблицей из коэффициентов.

№ п/п	A	B	C	D	E
1	25	–36	–50	–72	3589
2	0	2	–16	6	–23
3	2	3	–12	6	21
4	2	1	–4	0	0

Приведем решения первых трех задач, указанных в задании.  Задача 1.  1. По условию, уравнение имеет вид: 25x² – 36y² – 50x – 72y + 3589 = 0.  2. Так как AB = 25·(–36) < 0, то это уравнение гиперболического типа (см. 1, п. 1.2), следовательно, оно может определять или гиперболу, или пару пересекающихся прямых.  3. Выделим полные квадраты и приведем уравнение к каноническому виду:  25(x² – 2x) – 36(y² + 2y) + 3589 = 0;  25(x – 1)² – 36(y + 1)² = –3589 + 25 – 36;  25(x – 1)² – 36(y + 1)² = –3600;  .  4. Перейдем к новой ДПСК ­ X′O′Y′ :

; ­ ­ ­

(7.12)

Тогда наше уравнение примет вид

(7.13)

Теперь хорошо видно, что данное уравнение определяет гиперболу (см. III). Однако наша гипербола расположена относительно ДПСК ­ X′O′Y′ не так, как изображено на рис. 7.2, а повернута на 90°, т.е. ее действительная ось – ось OY, а мнимая – OX.  5. Найдем основные числовые характеристики гиперболы.  Действительная полуось a = 10. Мнимая полуось b = 12.  Расстояние от центра до фокуса .  Эксиентриситет гиперболы ε = c/d = 1.56 > 1.  6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых сначала в ДПСК ­ X′O′Y′, затем, пользуясь формулами (7.12), в данной ДПСК ­ XOY.  a)   Следовательно, координаты центра гиперболы O' в данной ДПСК ­ XOY будут (1,–1).  b) Уравнения осей симметрии. Как мы уже отмечали, наша гипербола имеет действительную ось – ось O'Y' : x'= 0 и мнимую ось – ось O'X' : y' = 0 . С учетом (7.12) уравнение действительной оси x = 1, аналогично,уравнение мнимой оси: y = –1.  с) Вершины:  В системе X'O'Y'  , ­ ­ где ­ ­ ;  , ­ где ­ ;  отсюда, в системе XOY,   A₁ (X₁,Y₁) = A₁(1; –11),   A₂(X₂, Y₂) = A₂(1; 9).  d) Фокусы. В системе X'O'Y' :      Отсюда в системе XOY : ­ F₁(–1; –16,6); ­ F₂(1; 14,6).  e) Директрисы.      L₁­ : ­ y = –7,4; ­ ­ ­L₂: y = 5,4.  f) Асимптоты.  .  x – 1,2y – 2,2 = 0.  .  x + 1,2y + 0,2 = 0.  Γ₁­ : ­ x – 1,2y – 2,2 = 0; ­ ­ ­ ­ Γ₂­ : ­ x + 1,2y + 0,2 = 0.  7 Сводка полученных результатов

Данное уравнение кривой	25x2– 36y2– 50x– 72y+ 3589 = 0
Уравнение кривой относительно ДПСК ­ X'O'Y'(после параллельного переноса)
Название кривой	Гипербола
Полуоси	Действительная полуось a= 10  Мнимая полуосьb= 12
Расстояние от центра до фокуса
Эксцентриситет
Связь между координатами точки (X,Y) и (X',Y')	;

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ	Координаты в ДПСК ­ X'O'Y'	Координаты в ДПСК ­ XOY
Центр O'	(0, 0)	(1, –1)
Вершины A1A2	(0; –10) (0; 10)	(1; –11) (1; 9)
Фокусы F1F2	(0; –15,6) (0; 15,6)	(1; –16,6) (1; 14,6)
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ	Уравнение в ДПСК ­ X'O'Y'	Уравнение в ДПСК ­ XOY
Оси Действительная Мнимая	x'= 0y'= 0	x= +1y= –1
Директрисы L1L2	y'= –6,4y'= 6,4	y= –7,4y'= 5,4
Асимптоты Γ1Γ2	x'= 1,2y'x'= –1,2y'	x– 1,2y– 2,2 = 0x+ 1,2y+ 0,2 = 0

8. На рисунке 7.4 изображена гипербола. 

  Рис. 7.4 Гипербола

Задача 2.  1. По условию уравнение имеет вид  y² – 16x + 6y – 23 = 0.  2. Так как AB = 0 ·1 = 0, то это уравнение параболического типа (см. 1, п.2); далее, так как C ≠ 0 (см. 1, п. 2.1), то это уравнение определяет параболу.  3. Выделим полный квадрат:  (y² + 6y + 9) = 16x + 23 + 9; ­ (y + 3)² = 16(x + 2).  4. Перейдем к новой ДПСК ­ X'O'Y'

­ ­

(7.14)

тогда наше уравнение примет вид: (y')² = 16x'.  5. Найдем параметр: 2p = 16, ­ p = 8.  6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых:  а) Вершина  ­ ­ (См. (14)). ­ ­ O'(–2; –3).  b) Уравнение оси: ­ y' = 0, ­ y + 3 = 0, ­ т.е. ­ y = –3.  c) Координаты фокуса F(p/2,0):   F(2, –3).  d) Уравнение директрисы: ­ z : ­ X' = –p/2; ­ ­ X' = –4; ­ ­ X + 2 = –4 ­ ­ или ­ ­ X = –6.

Сводка полученных результатов

Данное уравнение	y2– 16x+ 6y– 23 = 0
Уравнение кривой относительно ДПСК ­ X'O'Y'(после параллельного переноса).	(y')2= 16x'
Название кривой	Парабола
Параметр	p= 8
Эксцентриситет	ε= 1
Связь между координатами точки (X,Y) и (X',Y')

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ	Координаты в ДПСК ­ X'O'Y'	Координаты в ДПСК ­ XOY
Вершина O'	(0, 0)	(–2, –3)
Фокус F	(4, 0)	(2, –3)
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ	Уравнение в ДПСК ­ X'O'Y'	Уравнение в ДПСК ­ XOY
Ось	y'= 0	y= 3
Директриса	x'= –4	x'= –6

8. На рисунке 7.5 изображена парабола. 

  Рис. 7.5 Парабола

Задача 3.  1. По условию уравнение имеет вид:  2x² + 3y² – 12x + 6y + 21 = 0.  2. Так как A · B = 2 · 3 > 0, то уравнение эллиптического типа (см. 1, п. 1.1), следовательно, оно может определять либо эллипс, либо пустое множество (мнимый эллипс), либо точку.  3. Выделим полные квадраты:  2(x² – 6x + 9) + 3(y² + 2y + 1) – 18 – 3 +21 = 0;  2(x – 3)² + 3(y + 1)² = 0.  Точка с координатами (3, –1)  Замечание. Мы ограничились разбором решения только трех задач, однако это дает представление о выполнении работы в целом.