10.2.1Задачи

/461. Два охотника охотятся в одном лесу. Количество дичи, добываемой i-м охотником (yi ) зависит от его усилий (xi ) и общего количества дичи в лесу (z ) как yi = xiz . Последнее зависит от их усилий по следующему закону: z = 6 −x1 −x2 . Охотники стремятся добыть как можно больше дичи. Сравните результаты некоординируемого поведения и оптимум Парето.

/462. Месторождение нефти расположено под участками, принадлежащими двум различным нефтяным компаниям. Объем добычи компании (yi ) зависит от интенсивности добычи, которую она выбирает (xi ), составляя xi/(1 + x1 + x2) долю от общих запасов нефти в месторождении (1000 баррелей). Рыночная цена нефти — 15 песо за баррель, издержки на добычу одного барреля равны (3 + xi) песо. Каков будет результат «эгоистичной погони за прибылью»? Покажите, что месторождение будет эксплуатироваться слишком интенсивно.

/463. («Теорема о плохом колхозе») Пусть доход yΣ артели («колхоза») есть простая сумма результатов yi > 0, создаваемых усилиями отдельных участников i = 1, . . . , n. Доход распределяется поровну. Функция полезности ui(ri, yi) каждого участника возрастает по его доходу ri = yΣ/n, и убывает по его усилиям yi . Показать, что если хотя бы один участник в равновесии Нэша осуществляет усилия ( i : yi > 0), то оно не Парето-оптимально. Предложите Парето-улучшение.

/464. [MWG] Группа состоит из m студентов. Каждый i-й студент учится по hi часов в неде-

лю. Эти усилия уменьшают его уровень полезности на величину h2i /2. В то же время это дает

студенту добавку к стипендии, так что его полезность увеличивается на величину i ¯ ,

φ(h /h)

где ¯ — среднее количество часов, которое посвящают учебе студенты данной группы, а h

φ(·) — дифференцируемая строго возрастающая вогнутая функция. Найдите характеристику внутреннего равновесия (по Нэшу). Сравните с оптимальным по Парето исходом. Дайте интерпретацию.

/ 465. Каждый год n рыбаков ловят в озере рыбу. Ситуация начинается в году t = 1 и продолжается бесконечно. Количество рыбы на начало t-го года составляет yt . За год i-й рыбак

вылавливает xit/(Pn xit + 1) долю от общего количества рыбы yt , где xit — его издержки

i=1

на лов рыбы в году t. Цена на рыбу постоянна и равна p. Каждый рыбак максимизирует дисконтированную прибыль

∞

πi = X πitδt−1, 0 < δ < 1.

t=1

Вначале года количество рыбы в два раза больше оставшегося к концу предыдущего года.

(1)Пусть каждый рыбак выбирает постоянную стратегию xi = xit . Покажите, что вылов рыбы будет больше оптимального.

(2)Как зависит выбор xi и динамика рыбных запасов от цены на рыбу и дисконтирующего множителя δ?

(3)Предположим, что рыбаки остаются на озере только по одному году, и каждый год приезжают новые n рыбаков. Как это повлияет на ситуацию?

10.3Свойства экономики с экстерналиями. Теорема о неэффективности

Не представляет труда переформулировать для экономики с экстерналиями понятие Па- рето-эффективности. По аналогии с классической моделью доказывается утверждение, характеризующее Парето-оптимальные состояния экономики с экстерналиями: допустимое состояние (xˆ, yˆ) является Парето-оптимумом тогда и только тогда, когда оно является решением

следующих m задач (i0 = 1, . . . , m):

ui0 (x, y) → max

(x,y)

ui(x, y)>uˆi = ui(xˆ, yˆ) i I, i 6= i0, xi Xi i I,

gj(y, x)>0 j J,

XX

На основе этого свойства Парето-оптимального состояния можно получить его дифференциальную характеристику. Лагранжиан этой задачи для некоторого i0 имеет вид:

Условия первого порядка для внутренних решений имеют вид:

Здесь и в дальнейшем мы будем предполагать, что существует благо k0 , обладающее следующими свойствами:

- благо k0 не порождает внешние влияния, т. е.

k0 / Ei i I и k0 / Ej j J,

Такое благо может играть роль естественной единицы счета для экономики6.

Если в рассматриваемом оптимуме Парето существует подобное благо, то, как можно проверить, выполнены условия регулярности теоремы Куна — Таккера, и можно считать, что λi0 = 1 (для всех i0 = 1, . . . , m). Это позволяет исключить из полученных соотношений множители Лагранжа и представить дифференциальную характеристику в терминах предельных норм замещения.

Из условий первого порядка для блага k0 получим

Кроме того, для потребителя i0 соотношение ∂L/∂xi0k0 = 0 можно записать в виде

∂ui0 (xˆ, yˆ) = σk0 . ∂xi0k0

6Естественно интерпретировать это благо как время потребителей, которое они могут использовать как рабочее время и как досуг.

Следовательно, σk0 > 0. (Таким образом, множители Лагранжа λi и µj все положительны.) Произведя подстановку, получим следующую дифференциальную характеристику Парето-гра- ницы в экономике с экстерналиями:

Из (10.3) в частности, для каждой пары потребителей, i1 и i2 , и любого блага k выполнено

Аналогичное соотношение справедливо для любой пары экономических субъектов, потребителей или производителей.

Сравним полученную дифференциальную характеристику Парето-оптимальных состояний для экономики с экстерналиями с дифференциальной характеристикой рыночного равновесия

(p¯, x¯, y¯)

в этой экономике (в предположении, что такое равновесие существует). Как и выше, будем предполагать, что существует благо k0 , такое что выполнены условия (O).

Здесь мы делаем обычное для моделей с экстерналиями предположение, что экономические субъекты считают экстерналии, которые на них влияют, фиксированными (экзогенными, величина которых не зависит от их решений). Таким образом, экономический субъект максимизирует свою целевую функцию только по «своим» переменным.

Так, i-й потребитель максимизирует полезность по своему потребительскому набору xi . Задача потребителя имеет вид:

ui(xi, x−i, y) → max

xi

pxi 6 βi,

xi Xi.

А j -й производитель максимизирует прибыль, выбирая объем производства yj , т. е. решает следующую задачу:

pyj → max

yj

gj(yj, y−j, x) > 0.

Как несложно показать, цена блага k0 во внутреннем равновесии положительна. Дифференциальная характеристика рыночного равновесия имеет привычный вид:

∂ui(x¯, y¯)/∂xik = p¯k , i I, ∂ui(x¯, y¯)/∂xik0 p¯k0

∂gj(x¯, y¯)/∂yjk = p¯k , j J, ∂gj(x¯, y¯)/∂yjk0 p¯k0

где k — произвольное благо.

Сравнивая дифференциальные характеристики равновесия и Парето оптимума, мы видим, что левая часть соотношения (10.6) является одним из слагаемых левой части соотношения (10.5). То же самое можно сказать про правые части. Из общих соображений трудно ожидать, что одно из этих соотношений влечет за собой другое. Вполне может оказаться, что эти две дифференциальные характеристики несовместны. Несовместность дифференциальных характеристик означала бы, что справедливо утверждение, противоположное по смыслу теоремам благосостояния, то есть аналоги теорем благосостояния для такой экономики были бы неверны.

С другой стороны, сложно выявить достаточно общие условия, которые гарантировали бы, что дифференциальные характеристики рыночного равновесия и Парето-оптимума несовместны в экономике с экстерналиями. Это связано с тем, что деятельность любого экономического субъекта в общем случае может влиять на любого другого экономического субъекта, и структура взаимосвязей в экономике с экстерналиями может быть слишком сложной, чтобы позволить делать однозначные выводы. По-видимому, нельзя обойтись без того, чтобы предположить некоторого рода «регулярное» поведение производных по экстерналиям. Следующая теорема использует один из возможных наборов таких предположений (несомненно, эти предположения можно было бы ослабить).

Теорема 108:

Пусть (x, y) — допустимое состояние экономики с экстерналиями такое, что xi int Xi i, функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Пусть, кроме того,

•существует благо k0 , для которого выполнены условия (O);

•все экстерналии, связанные с объемом производства производителем j блага k (yj k ), неотрицательные в том смысле, что

∂ui(x, y) > 0, i, ∂yj k

∂gj(x, y) > 0, j 6= j , ∂yj k

причем хотя бы одно неравенство строгое;

• потребление хотя бы одним потребителем i0 блага k (xi0k ) не порождает внешние влияния, т. е. k / Ei0 .

Тогда следующие два утверждения не могут быть верными одновременно:

1) Существуют цены p и распределение собственности, такие что (p, x, y) — рыночное равновесие этой экономики.

2) Состояние (x, y) — Парето-оптимум этой экономики.

Доказательство: Пусть рассматриваемое состояние является Парето-оптимальным. Тогда для k = k и j = j выполняется соотношение (10.4). Поскольку мы предположили, что экстерналии, связанные с yj k , положительные, и, кроме того, производные, связанные с благом k0 , ∂ui/∂xik0 и ∂gj/∂yjk0 положительны и отрицательны соответственно, то сумма «экстернальных слагаемых» в левой части уравнения (10.4) больше нуля. Это означает, что

∂gj (y, x)/∂yj k < σk . ∂gj (y, x)/∂yj k0 σk0

Кроме того, для k = k и i = i0 в уравнении (10.3) по предположению нет слагаемых, связанных с экстерналиями, т. е. его можно записать в виде

∂ui0 (x, y)/∂xi0k = σk ∂ui0 (x, y)/∂xi0k0 σk0

Окончательно получаем

∂gj (y, x)/∂yj k < ∂ui0 (x, y)/∂xi0k . ∂gj (y, x)/∂yj k0 ∂ui0 (x, y)/∂xi0k0

С другой стороны, если бы рассматриваемое состояние было равновесием, то в нем то же самое соотношение должно было бы выполняться как равенство:

∂gj (y, x)/∂yj k = ∂ui0 (x, y)/∂xi0k . ∂gj (y, x)/∂yj k0 ∂ui0 (x, y)/∂xi0k0

Отсюда следует доказываемое утверждение о том, что (x, y) не может быть одновременно равновесием и Парето-оптимумом.

Замечание: В данной теореме мы предположили, что экстерналии положительны, связаны с производством, и существует потребитель, потребление которым того же блага не создает экстерналий. Все эти три предположения можно изменить, то есть рассмотреть отрицательные экстерналии и/или экстерналии, связанные с потреблением, и/или предположить существование производителя, производство которым того же блага не создает экстерналий. Теорема при этом остается верной. Доказательство проводится аналогично.

Замечание: Хотя теорема одна, но она противоположна обеим теоремам благосостояния. Ее можно переформулировать двумя способами:

1)Равновесие в экономике с экстерналиями не может быть Парето-оптимальным.

2)Парето-оптимум в экономике с экстерналиями нельзя реализовать как рыночное равновесие (ни при каких ценах и распределении доходов).

Неоптимальность равновесия (p¯, x¯, y¯) в условиях Теоремы 108 можно подтвердить также, подобрав Парето-улучшение — другое допустимое состояние экономики, (x˜, y˜), которое доминирует по Парето состояние (x¯, y¯). При этом Парето-улучшение (x˜, y˜) мы можем подобрать так, что в нем производство положительных экстерналий yj k строго больше, чем в рассматриваемом равновесии.

Если же все экстерналии связанные с некоторой переменной yj k отрицательные, то аналогичным образом можно подобрать Парето-улучшение так, что в нем производство экстерналий строго меньше, чем в рассматриваемом равновесии. Верны и аналогичные утверждение для благ, вызывающих экстерналии в потреблении. Доказательство этих утверждений мы опускаем, проиллюстрировав их для конкретных примеров экономик с экстерналиями.

Проиллюстрируем проведенный анализ частным случаем экономики с экстерналиями./??[Маленво]/

Пример 44 (/Маленво/ (Общее равновесие; экстерналии в производстве)):

Рассмотрим экономику с 3 товарами, 1 (репрезентативным) потребителем и 2 производителями. Производитель j = 1, 2 производит только j -ый продукт, используя единственный производственный фактор — труд. Будем обозначать объемы производства y1 и y2 , а затраты труда — a1 и a2 соответственно7. Будем предполагать также, что технологии представимы явными производственными функциями следующего вида:

y1 6 f1(a1, y2), y2 6 f2(a2, y1).

7Заметим, что мы здесь отошли от стандартного представления производства в терминах чистых выпусков

инесколько упростили обозначения, т. е. перешли к новым переменным: yj = yjj (j = 1, 2), aj = −yj3 .

то есть выпуск каждого блага при тех же затратах труда зависят от выпуска другого блага, что означают имеют место экстерналии.

Предпочтения потребителя заданы функцией полезности u(x1, x2, x3), зависящей от объемов потребления двух производимых в данной экономике благ, x1 > 0 и x2 > 0, и досуга x3 > 0. Потребитель обладает только запасом ω 3-го блага (времени).

Функция полезности и производственные функции в дифференцируемы. Кроме того, производные этих функций везде имеют «естественные» знаки, а именно:

Балансовые ограничения в рассматриваемой экономике имеют вид:

y1 = x1, y2 = x2, a1 + a2 + x3 = ω.

Парето-оптимальные состояния данной экономики8,

(ˆx1, xˆ2, xˆ3, yˆ1, yˆ2, aˆ1, aˆ2),

должны быть решениями следующей задачи9:

a1 + a2 6 ω.

Задача, характеризующая Парето-оптимум, здесь одна, тaк как потребитель один. Лагранжиан этой задачи имеет вид:

L(y1, y2, a1, a2, µ1, µ2) =

= u(y1, y2, ω − a1 − a2) + µ1(f1(a1, y2) − y1) + µ2(f2(a2, y1) − y2)

Будем предполагать, что решения этой задачи внутренние. Тогда Парето-оптимальное состояние можно охарактеризовать следующими соотношениями:

Поскольку предельный продукт труда положителен, можно записать множители Лагранжа

как

и получить следующую характеристику Парето-оптимума:

8Скорее всего, для конкретных функций в рассматриваемой экономике будет только одно Парето-оптималь- ное состояние. Но это нам в данном случае не важно.

9Данная задача получена на основе конкретизации для данной экономики характеристики Парето-оптимума и замены переменных.

Теперь охарактеризуем рыночные равновесия в данной экономике, при которых все блага потребляются в положительных количествах (внутренние равновесия). Пусть

(p1, p2, p3, x¯1, x¯2, x¯3, y¯1, y¯2, a¯1, a¯2) —

равновесие. Выпуск y¯j и затраты труда a¯j являются решением следующей задачи (максимизации прибыли j -го производителя):

πj = pjfj(aj, y¯−j) − p3aj → max .

aj

Поэтому в равновесии

то есть предельные нормы трансформации равны отношениям цен.

С другой стороны, функция Лагранжа для задачи потребителя имеет вид

L = u(x1, x2, x3) + λ(β − (p1x1 + p2x2 + p3x3)).

Дифференцируя ее по x1 , x2 и x3 и упрощая полученные условия первого порядка, получим обычную характеристику потребительского набора (¯x1, x¯2, x¯3) — равенство отношения предельных полезностей отношению цен:

Если хотя бы одна из производных ∂f1/∂y2 и ∂f2/∂y1 , характеризующих предельный эффект внешнего влияния, в состоянии равновесия, не равна нулю, то сравнивая дифференциальные характеристики, мы можем сделать вывод, что равновесие не может быть Парето-опти- мальным, и, наоборот, Парето-оптимум невозможно реализовать как равновесие.

Величины ∂fj/∂y−j , на которые отличаются характеристики равновесия и Парето-оптиму-

∂fj/∂aj

ма, показывают (в случае положительных экстерналий), сколько труда можно «сэкономить» при производстве данного блага при увеличении на «малую единицу» производства другого блага. Рассчитывая оптимальный объем затрат труда, производитель не учитывает этот эффект.

Из сопоставления ее с характеристикой равновесия можно заключить:

При выполнении условия ∂fj/∂y−j = 0 в состоянии рыночного равновесия характеристика равновесия будет иметь такой же вид, как и характеристика Парето-оптимального состояния. Но поскольку обе эти характеристики представляют необходимые условия, из этого факта нельзя заключить без дополнительных предположений, что равновесие Парето-оптимально. Стандартный подход в доказательстве оптимальности рыночного равновесия опирается предположение о вогнутости производственных функций и функции полезности. Однако предположение о вогнутости производственных функций по «чужой» переменной (экстерналиям)

представляется произвольным и ему нельзя дать столь же естественной интерпретации, как вогнутости по «своей» переменной.

Проиллюстрируем утверждение о неоптимальности производства благ в данном примере, указав в явном виде Парето-улучшение для равновесного состояния. Построим это в дифференциалах — малый допустимый сдвиг

(dx1, dx2, dx3, dy1, dy2, da1, da2).

из точки равновесия, который бы повышал полезность потребителя.

Чтобы искомый сдвиг был допустимым, он не должен нарушать балансовые и производственные ограничения. Соответствующие условия получаем дифференцированием этих ограничений:

Полезность потребителя изменится на величину

Подставим dxk , выраженные через dyj :

Если хотя бы одна из производных ∂f1/∂y2 и ∂f2/∂y1 не равна нулю, то можно подобрать изменения объемов производства dy1 и dy2 так, что полезность потребителя увеличится (du > 0). Это означает, что соответствующее изменение объемов производства определяет Парето-улуч- шение. Так, если, например, ∂f1/∂y2 = 0 (случай одностороннего внешнего влияния), то если ∂f2/∂y1 > 0 (случай положительных внешних влияний), то следует dy1 > 0, т. е. локальное Парето-улучшение связано с увеличением производства блага, вызывающего положительные