Таким образом, оптимальный выпуск характеризуется тем, что предельные издержки равны цене.

На основе решения рассматриваемой задачи можно построить функцию (отображение) предложения. Она указывает оптимальный объем выпуска y¯ как функцию цен продукции p и цен факторов w.

Обычно функции издержек используют в моделях частного равновесия (моделях квазилинейных экономик).

4.4.3Восстановление множества требуемых затрат

Построим по функции издержек c(w, y) при некотором фиксированном объеме производства следующее множество:

Vc(y) = { r | wr > c(w, y) w > 0 } .

При любом векторе выпуска y это множество является выпуклым по построению. Так как цены неотрицательны, то выполняется также следующее свойство, которое можно называть свойством свободы расходования производственных факторов:

Ясно, что множество требуемых затрат V (y) и рассматриваемое нами сножество Vc(y) могут не совпадать, если само исходное множество V (y) не является выпуклым или монотонным???.

Теорема 60:

Пусть V (y) выпуклое и удовлетворяющее свойству свободы расходования ( ) множество. Тогда V (y) = Vc(y).

Доказательство: Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения.

Отметим, что даже если множества V (y) и Vc(y) не совпадают друг с другом, это различие несущественно с точки зрения описания поведения производителя, поскольку Vc(y) порождает ту же самую функцию издержек, что и V (y).

Теорема 61:

Пусть c (w, y) — решение задачи

wr → min

r

r Vc(y).

Тогда c (w, y) = c(w, y).

Доказательство: Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения.

Заметим, что два эти утверждения — аналоги соответствующих результатов относительно связи Y и Yπ , π(p) и π (p).

Это утверждение обосновывает возможность получения некоторого множества допустимых затрат Vc(y), порождающего функцию издержек c(w, y). Но совпадение Vc(y) и V (y) возможно только в том случае, когда V (y) удовлетворяет предположениям выпуклости и монотонности. Практический способ восстановления V (·) читатель может сконструировать сам.

4.4.4Задачи

/ 221. Функция c(y, w) = y1/2(w1w2)3/4 является функцией издержек для некоторой технологии

3Да

3Нет

3Недостаточно информации

/222. Функция c(y, w) = (y + 1/y)(w1w2)1/2 является функцией издержек для некоторой технологии

3Да

3Нет

3Недостаточно информации

/223. Функция c(y, w) = y(w1 −(w1w2)1/2 + w2) является функцией издержек для некоторой технологии

3Да

3Нет

3Недостаточно информации

/224. Функция c(y, w) = y(w1 + w2) является функцией издержек для некоторой технологии

3Да

3Нет

3Недостаточно информации

/225. Функция c(y, w) = y min{w1, w2} является функцией издержек для некоторой технологии

3Да

3Нет

3Недостаточно информации

/226. Функция c(y, w) = y(aw1 + bw2) является функцией издержек для некоторой технологии

3при положительных коэффициентах a и b;

3если a равно b;

3при любых коэффициентах a и b данная функция не является функцией издержек для некоторой технологии

/227. Функция c(y, w) = y min{aw1, bw2} является функцией издержек для некоторой технологии

3при положительных коэффициентах a и b;

3если a равно b;

3при любых коэффициентах a и b данная функция не является функцией издержек для некоторой технологии

/228. Функция c(y, w) = yw1aw2b является функцией издержек для некоторой технологии

3если сумма a + b меньше или равна единицы

3при положительных коэффициентах a и b, и если сумма a+b меньше или равна единице

3при положительных коэффициентах a и b, и если сумма a + b больше единицы

/229. Множество требуемых ресурсов на производство объема y задается неравенством

ar1 + br2 > y2 при a, b > 0.

Какой вид имеет соответствующая производственная функция? Постройте функцию издержек.

/230. Найдите функции издержек для следующих производственных функций: а) f(r) = Qi riαi , αi > 0,