s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s |
Глава |
Поведение производителя |
4 |
|
|
|
?? нет ссылок |
4.1Технологическое множество и его свойства
Рассмотрим экономику с l благами. Для конкретной фирмы естественно рассматривать часть из этих товаров как факторы производства и часть — как выпускаемую продукцию. Следует оговориться, что такое деление довольно условно, так как фирма обладает достаточной свободой в выборе ассортимента производимой продукции и структуры затрат. При описании технологии будем различить выпуск и затраты, представляя последние как выпуск со знаком минус. Для удобства представления технологии продукцию, которая и не затрачивается и не выпускается фирмой, будем относить к ее выпуску, причем объем производства этой продукции считаем равным 0. В принципе не исключена ситуация, в которой продукт, производимый фирмой, также потребляется ею в процессе производства. В этом случае мы будем рассматривать только чистый выпуск данного продукта, т. е. его выпуск минус затраты.
Пусть число факторов производства равно n, а число видов выпускаемой продукции равно m, так что l = m + n. Обозначим вектор затрат (по абсолютной величине) через r Rn+ , а объемы выпусков через y Rm+ . Вектор (−r, yo) будем называть вектором чистых выпусков. Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков y = (−r, yo) составляет технологическое множество Y . Таким образом, в рассматриваемом случае любое технологическое множество — это подмножество Rn− × Rm+ .
Такое описание производства носит общий характер. При этом можно не придерживаться жесткого деления благ на продукты и факторы производства: одно и то же благо может при одной технологии затрачиваться, а при другой — производится. В этом случае Y Rl .
Опишем свойства технологических множеств, в терминах которых обычно дается описание конкретных классов технологий.
1. Непустота
Технологическое множество Y непусто.
Это свойство означает принципиальную возможность осуществления производственной деятельности.
2. Замкнутость
Технологическое множество Y замкнуто.
Это свойство скорее техническое; оно означает, что технологическое множество содержит свою границу, и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистого выпуска также является технологически допустимым вектором чистых выпусков.
3. Свобода расходования:
если y Y и y0 6 y, то y0 Y.
Это свойство можно интерпретировать как наличие возможности производить тот же самый объем выпуска, но посредством больших затрат, или меньший выпуск при тех же затратах.
4. Отсутствие «рога изобилия» (“no free lunch”)
если y Y и y > 0, то y = 0.
132
4.1. Технологическое множество и его свойства |
133 |
Это свойство означает, что для производства продукции в положительном количестве необходимы затраты в ненулевом объеме.
y2 
Y
y1
Рис. 4.1. Технологическое множество с возрастающей отдачей от масштаба.
5. Невозрастающая отдача от масштаба:
если y Y и y0 = λy, где 0 < λ < 1, тогда y0 Y.
Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.
50 . Неубывающая отдача от масштаба:
если y Y и y0 = λy, где λ > 1, тогда y0 Y.
В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, возрастающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не убывает.
500 . Постоянная отдача от масштаба — ситуация, когда технологической множества удовлетворяет условиям 5 и 50 одновременно, т. е.
если y Y и y0 = λy0, тогда y0 Y λ > 0.
Геометрически постоянная отдача от масштаба означает, что Y является конусом (возможно, не содержащим 0).
В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, постоянная отдача означает, что средняя производительность затрачиваемого фактора не меняется при изменении объема производства.
y2 
Y
y1
Рис. 4.2. Выпуклое технологическое множество с убывающей отдачей от масштаба
.
4.1. Технологическое множество и его свойства |
134 |
6. Выпуклость: |
|
если y0, y00 Y и 0 < α 6 1, то αy0 + (1 − α)y00 |
Y. |
Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии в любой пропорции.
7. Необратимость
если y Y и y 6= 0, то (−y) / Y.
Пусть из килограмма стали можно произвести 5 подшипников. Необратимость означает, что невозможно произвести из 5-ти подшипников килограмм стали.
8. Аддитивность .
если y Y и y0 Y , то y + y0 Y.
Свойство аддитивности означает возможность комбинировать технологии.
9. Допустимость бездеятельности:
0 Y.
Теорема 44:
1)Из невозрастающей отдачи от масштаба и аддитивности технологического множества следует его выпуклость.
2)Из выпуклости технологического множества и допустимости бездеятельности следует невозрастающая отдача от масштаба. (Обратное не всегда верно: при невозрастающей отдаче технология может быть невыпуклой, см. Рис. 4.3.)
3)Технологическое множество обладает свойствами аддитивности и невозрастающей
отдачи от масштаба тогда и только тогда, когда оно — выпуклый конус.
Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. |
|
y2 
Y
y1
Рис. 4.3. Невыпуклое технологическое множество с невозрастающей отдачей от масштаба.
Не все допустимые технологии в равной степени важны с экономической точки зрения. Среди допустимых особо выделяются эффективные технологии. Допустимую технологию y принято называть эффективной, если не существует другой (отличной от нее) допустимой технологии y0 , такой что y0 > y. Очевидно, что такое определение эффективности неявно подразумевает, что все блага являются в определенном смысле желательными. Эффективные технологии составляют эффективную границу технологического множества. При определенных условиях оказывается возможным использовать в анализе эффективную границу вместо всего технологического множества. При этом важно, чтобы для любой допустимой технологии y нашлась эффективная технология y0 , такая что y0 > y. Для того, чтобы это условие было выполнено, требуется, чтобы технологическое множество было замкнутым, и чтобы в пределах технологического множества невозможно было увеличивать до бесконечности выпуск одного блага, не уменьшая при этом выпуск других благ. Можно показать, что если технологическое
4.1. Технологическое множество и его свойства |
135 |
y2 
Y
y1
Рис. 4.4. Эффективная граница технологического множества
множество обладает свойством свободы расходования, то эффективная граница однозначно задает соответствующее технологическое множество.
Начальные курсы и курсы промежуточной сложности, при описании поведения производителя, опираются на представление его производственного множества посредством производственной функции. Уместен вопрос, при каких условиях на производственное множество такое представление возможно. Хотя можно дать более широкое определение производственной функции, однако здесь и далее мы будем говорить только об «однопродуктовых» технологиях, т. е. m = 1.
Пусть R — проекция технологического множества Y на пространство векторов затрат, т. е.
R = { r Rn | yo R : (−r, yo) Y } .
Определение 37:
Функция f(·) : R 7→R называется производственной функцией, представляющей технологию Y , если при каждом r R величина f(r) является значением следующей задачи:
yo → max
yo
(−r, yo) Y.
Заметим, что любая точка эффективной границы технологического множества имеет вид (−r, f(r)). Обратное верно, если f(r) является возрастающей функцией. В этом случае yo = f(r) является уравнением эффективной границы.
Следующая теорема дает условия, при которых технологическое множество может быть представлено??? производственной функцией.
Теорема 45:
Пусть для технологического множества Y R × (−R) для любого r R множество
F (r) = { yo | (−r, yo) Y }
замкнуто и ограничено сверху. Тогда Y может быть представлено производственной функцией.
Доказательство: Замкнутость и ограниченность сверху множества F (r) |
гарантируют, что су- |
ществует f(r) F (r) такой, что f(r) > y y F (r). |
|
Замечание: Выполнение условий данного утверждения можно гарантировать, например, если множество Y замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия.
4.1. Технологическое множество и его свойства |
136 |
Теорема 46:
Пусть множество Y замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия. Тогда для любого r R множество
F (r) = { yo | (−r, yo) Y }
замкнуто и ограничено сверху.
Доказательство: Замкнутость множеств F (r) непосредственно следует из замкнутости Y . Покажем, что F (r) ограничены сверху. Пусть это не так и при некотором r R суще-
ствует неограниченно возрастающая последовательность {yn}, такая что yn F (r). Тогда вследствие невозрастающей отдачи от масштаба (−r/yn, 1) Y . Поэтому (вследствие замкнутости), (0, 1) Y , что противоречит отсутствию рога изобилия.
Отметим также, что если технологическое множество Y удовлетворяет гипотезе свободного расходования, и существует представляющая его производственная функция f(·), то множество Y описывается следующим соотношением:
Y = { (−r, yo) | yo 6 f(r), r R } .
Установим теперь некоторые взаимосвязи между свойствами технологического множества и представляющей его производственной функции.
Теорема 47:
Пусть технологическое множество Y таково, что для всех r R определена производственная функция f(·). Тогда верно следующее.
1)Если множество Y выпукло, то функция f(·) вогнута.
2)Если множество Y удовлетворяет гипотезе свободного расходования, то верно и обратное, т. е. если функция f(·) вогнута, то множество Y выпукло.
3)Если Y выпукло, то f(·) непрерывна на внутренности множества R.
4)Если множество Y обладает свойством свободы расходования, то функция f(·) не убывает.
5)Если Y обладает свойством отсутствия рога изобилия, то f(0) 6 0.
6)Если множество Y обладает свойством допустимости бездеятельности, то f(0) > 0.
Доказательство: (1) Пусть r0, r00 R. Тогда (−r0, f(r0)) Y и (−r00, f(r00)) Y , и
(−αr0 − (1 − α)r00, αf(r0) + (1 − α)f(r00)) Y α [0, 1],
поскольку множество Y выпукло. Тогда по определению производственной функции
αf(r0) + (1 − α)f(r00) 6 f(αr0 + (1 − α)r00),
что означает вогнутость f(·).
(2)Поскольку множество Y обладает свойством свободного расходования, то множество Y (с точностью до знака вектора затрат) совпадает с ее подграфиком. А подграфик вогнутой функции — выпуклое множество.
(3)Доказываемый факт следует из того, что вогнутая функция непрерывна во внутренно-
сти ее области определения.
(4)Пусть r00 > r0 (r0, r00 R). Поскольку (−r0, f(r0)) Y , то по свойству свободы расходования (−r00, f(r0)) Y . Отсюда, по определению производственной функции, f(r00) > f(r0), то есть f(·) не убывает.
(5)Неравенство f(0) > 0 противоречит предположению об отсутствии рога изобилия. Значит, f(0) 6 0.
(6)По предположению о допустимости бездеятельности (0, 0) Y . Значит, по определению
производственной функции, f(0) > 0. |
|
4.1. Технологическое множество и его свойства |
137 |
В предположении о существовании производственной функции свойства технологии можно описывать непосредственно в терминах этой функции. Покажем это на примере так называемой эластичности масштаба.
Пусть производственная функция дифференцируема. В точке r, где f(r) > 0, определим
локальную эластичность масштаба e(r) как:
|
(λr) λ |
. |
||
e(r) = |
df |
|
|
|
dλ |
f(r) |
|||
|
|
|
|
λ=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в некоторой точке e(r) равна 1, то считают, что в этой точке постоянная отдача от масштаба, если больше 1 — то возрастающая отдача, меньше — убывающая отдача от масштаба. Вышеприведенное определение можно переписать в следующем виде:
P ∂f(r) e(r) = i ∂ri ri .
f(r)
Теорема 48:
Пусть технологическое множество Y описывается производственной функцией f(·) и
вточке r выполнено e(r) > 0. Тогда верно следующее:
1)Если технологическое множество Y обладает свойством убывающей отдачи от масштаба, то e(r) 6 1.
2)Если технологическое множество Y обладает свойством возрастающей отдачи от масштаба, то e(r) > 1.
3) Если Y обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то e(r) = 1.
Доказательство: (1) Рассмотрим последовательность {λn} (0 < λn < 1), такую что λn → 1. Тогда (−λnr, λnf(r)) Y , откуда следует, что f(λnr) > λnf(r). Перепишем это неравенство в виде:
|
f(λnr) − f(r) |
6 f(r). |
|||||||
Переходя к пределу, имеем |
|
λn − 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dλ |
= |
|
∂ri |
ri 6 f(r). |
||||
df(λr) |
λ=1 |
i |
∂f(r) |
|
|||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, e(r) 6 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Свойства (2) и (3) доказываются аналогично. |
|
|
|||||||
Технологические множества Y можно задавать в виде неявных производственных функций g(·). По определению, функция g(·) называется неявной производственной функцией, если технология y принадлежит технологическому множеству Y тогда и только тогда, когда g(y) >
0.
Заметим, что такую функцию можно найти всегда. Например, подходит функция такая, что g(y) = 1 при y Y и g(y) = −1 при y / Y . Заметим, однако, что данная функция не является дифференцируемой. Вообще говоря, не каждое технологическое множество можно описать одной дифференцируемой неявной производственной функцией, причем такие технологические множества не являются чем-то исключительным. В частности, технологические множества, рассматриваемые в начальных курсах микроэкономики, часто бывают такими, что для их описания нужно два (или больше) неравенства с дифференцируемыми функциями, поскольку требуется учитывать дополнительные ограничения неотрицательности факторов производства. Чтобы учитывать такие ограничения, можно использовать векторные неявные