5.3.1. Уравнение прямой линии тренда

Уравнение имеет вид:

где -уровень тренда для периода или момента с номером ;

а -свободный член уравнения, равный среднему уровню тренда для периода (момента) с нулевым номером ;

b -главный параметр линейного тренда - его константа - среднее абсолютное изменение за принятую в ряду еди­ницу времени.

Величина параметров аиbопределяется по методу наимень­ших квадратов путем приравнивания частных первых производных функции

После алгебраических преобразований получаем два «нор­мальных уравнения» метода наименьших квадратов (МНК) для прямой:

Решая эти уравнения с двумя неизвестными по данным фак­тического временного ряда yi(i= 1-n), получаем значенияаиb.Если номера периодов (моментов) времени отсчитываются от начала ряда так, что первый период (момент) обозначен но­меромt= 1, то свободный членаесть уровень тренда для пре­дыдущего периода (момента), а не первого в ряду, как часто ошибочно полагают. Для первого периода уровень трендара­вена+b, для второго

= a+2bи т.д.

Однако рациональнее начало отсчета времени перенести в середину ряда, т.е. при нечетном п -на период (момент) с номером(п +1 )/2, а при четном числе уровней ряда - на середину между периодом с номеромn/2 и (n/2)+1. В последнем случае все номе­ра периодовtiбудут дробными. При нумерации периодов вре­мени точно от середины ряда половина номеровtiбудет отрицательными числами (аналогично годам до нашей эры), а половина - положительными, т.е.= 0. В таком случае си­стема нормальных уравнений МНК распадается на два уравне­ния с одним неизвестным в каждом:

(5.5), (5.6)

Откуда имеем:

(5.7)

(5.8)

К сожалению, многие компьютерные программы не предус­матривают такого упрощения, и нумерация периодов (момен­тов) в них производится с начала ряда, с номера t= 1, причем пользователь об этом не предупреждается. При расчетах без компьютера, конечно, следует применить упрощенный прием. Знаменатель в формуле (5.8) при нумерации периодов от сере­дины ряда вычисляется устно приn10 или по формуле:

Приведем расчет линейного тренда по временному ряду (см. рис. 4.1). Динамика численности занятых в народном хозяйстве России с 1990 по 1996 г. представлена в табл. 5.3. В целях эконо­мии места в той же таблице приведены и другие показатели, не­обходимые для измерения колеблемости, описываемые в гл.6.

Таблица 5.3 Расчет линейного тренда

Год	Уро­вень, , млн. чел.	Номер года,		Тренд млн. чел.	Откло­нение от тренда, -=
1990	75,3	-3	-225,9	75,3	0,0	0,00	0,00
1991	73,8	-2	-147,6	73,7	0,1	0,01	0,00
1992	72,1	-1	-72,1	72,1	0,0	0,00	0,00
1993	70,9	0	0,0	70,5	0,4	0,16	-0,16
1994	68,5	1	68,5	68,9	-0,4	0,16	0,08
1995	67,1	2	134,2	67,3	-0,2	0,04	-0,04
1996	65,9	3	197,7	65,7	0,2	0,04	-
Σ	493,6	0	-45,2	493,5	0,1	0,41	-0,12

Уравнение тренда: _у; = 70,5-1,615?,, ^. = 0 в 1993 г. В среднем численность занятых сокращалась на 1615 тыс. чел. в год. Сум­ма уровней тренда должна равняться сумме фактических уров­ней, различие в четвертой значащей цифре связано с округлением значений параметров