МАТЕМАТИКА для экономистов / Булгаков Н.А. Основные законы и формулы по математике и физике

R = ρl / S; G = 1 / R; γ = 1 / ρ,

где ρ — удельное электрическое сопротивление; S — площадь поперечного сечения проводника; l — его длина.

Сопротивление проводников при последовательном и параллельном соединении

где Ri — сопротивление i-го проводника; n — число проводников.

Зависимость удельного сопротивления ρ от температуры

ρ = ρ0 (1 + αt),

где α — температурный коэффициент сопротивления.

Закон Ома:

♦для однородного участка цепи

I = U / R;

♦ для неоднородного участка цепи

I = (ϕ1 − ϕ2 + E12 )/ R;

♦ для замкнутой цепи

I = E / R,

где U — напряжение на участке цепи; R — сопротивление цепи (участка цепи); (ϕ1 − ϕ2 ) — разность потенциалов на концах участка цепи; E12 — э.д.с. источников тока, входящих в участок; E — э.д.с. всех

источников тока цепи.

Закон Ома в дифференциальной форме

j = γE,

где E – напряженность электростатического поля.

Работа тока за время t

A = IUt = I2Rt = U2 t. R

Мощность тока

P = IU = I2R = U2 . R

Закон Джоуля-Ленца

Q = I2Rt = IUt,

где Q – количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

w = jE = γE2 ,

где w — удельная тепловая мощность тока.

Правило Кирхгофа

Закон Ампера

dF = I[dI , B],

где dF — сила, действующая на элемент длины dl проводника с током I , помещенный в магнитное поле с индукцией В.

Модуль силы Ампера

dF = IBl sin α,

где α — угол между векторами dl и В.

Сила взаимодействия двух прямых бесконечных прямолинейных параллельных проводников с токами I1 и I2

dF = µ0µ 2I1I2 dl, 4π R

где R — расстояние между проводниками; dl — отрезок проводника.

B = µ0µ Q[v r], 4π r3

где r — радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения.

Модуль магнитной индукции

B = µ40πµ Qvr2 sin α,

где α — угол между векторами v и r.Сила Лоренца

F = Q[v B],

где F — сила, действующая на заряд Q , движущийся в магнитном поле со скоростью v.

Формула Лоренца

F = QE + Q[v , B],

где F — результирующая сила, действующая на движущийся заряд Q , если на него действует электрическое поле напряженностью Е и магнитное поле индукцией В.

Холловская поперечная разность потенциалов

∆ϕ = R IBd ,

где В — магнитная индукция; I — сила тока; d — толщина пластинки; R = 1 /(en) — постоянная Холла (п

— концентрация электронов).

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В)

n

∫Bdl = ∫Bidl = µ0 ∑Ik ,

где µ0 — магнитная постоянная; dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; — составляющая вектора В в направлении касательной контура L произвольной

алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.

Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего N витков,

B = µ0NI / l,

где l — длина соленоида.

Магнитная индукция поля внутри тороида (в вакууме)

B= µ0NI / 2πr .

Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через площадку dS

dΦB = BdS = BndS,

где dS = dSn — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью п к площадке; Bn

— проекция вектора В на направление нормали к площадке.

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S

ΦB = ∫BdS = ∫BndS.

SS

Потокосцепление (полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида)

Φ= µ0µ Nl2I S,

где µ — магнитная проницаемость среды.

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

dA = IdΦ,

где dΦ — магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

dA = IdΦ',

где dΦ' — изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

3.5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

Закон Фарадея

Ei = − ddΦt ,

где Ei — э.д.с. индукции.

Э.д.с. индукции, возникающая в рамке площадью S при вращении рамки с угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией B ,

Ei = BSωsin ωt,

где ωt — мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали n к плоскости рамки.

Магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью L,

Φ= LI .

Э.д.с. самоиндукции

Es = −L ddIt ,

где L — индуктивность контура.

Индуктивность соленоида (тороида)

L = µ0µ Nl2S ,

где N — число витков соленоида; l — его длина.

Токи при размыкании и при замыкании цепи

I = I0e−t / τ; I = I0 (1 − e−t / τ ),

где τ = L / R — времярелаксации(L — индуктивность; R — сопротивление).

Э.д.с. взаимной индукции (э.д.с., индуцируемая изменением силы тока в соседнем контуре)

E = −L12 ddIt ,

где L12 — взаимная индуктивность контуров.

Взаимная индуктивность двух катушек (с числом витков N1 и N2 , намотанных на общий тороидальный сердечник,

L12 = L21 = µ0µ N1lN2 S,

где µ0 — магнитная проницаемость сердечника; I — длина сердечника по средней линии; S — площадь сердечника.

Коэффициент трансформации

N2 = E2 = I1 ,

N1 E1 I2

где N , E, I — соответственно число витков, э.д.с. и сила тока в обмотках трансформатора.

Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре, по которому течет ток I,

W= LI2 / 2.

Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида

3.6.МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА

Связь орбитального магнитного pm и орбитального механического Le моментов электрона

pm = −gLe = − 2em Le ,

где g = e /(2m) — гиромагнитное отношение орбитальных моментов.

Намагниченность

J = Pm /V = ∑ pa /V ,

где Pm = ∑ pa — магнитный момент магнетика, равный векторной сумме магнитных моментов отдельных молекул.

Связь между намагниченностью и напряженностью магнитного поля

J = χH ,

где χ — магнитная восприимчивость вещества.

Связь между векторами B, H, J

B = µ0 (H + J),

где µ0 — магнитная постоянная.

Связь между магнитной проницаемостью и магнитной восприимчивостью вещества

µ= 1+χ.

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В)

∫Bdl = ∫Bldl = µ0 (I + I′),

L L

где dl — вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; Bl — составляющая вектора В в направлении касательной контура L произвольной формы; I и I’ — соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых заданным контуром.

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

∫Hdl = I ,

L

где I — алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром L.

3.7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Плотность тока смещения

поляризации.

Полная система уравнений Максвелла:

♦в интегральной форме

♦ в дифференциальной форме

где D = ε0εE; B = µ0µH; j = γE (ε0 и µ0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные; (ε и µ — диэлектрическая и магнитная проницаемости; γ — удельная проводимость вещества).

IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

4.1. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Уравнение гармонических колебаний

Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m

Полная энергия

= mA2ω2 .

E 0

2

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки массой т

mx&& = −kx, или x&& + ω02x = 0 ,

где k — коэффициент упругости (k = ω02m).

Период колебаний пружинного маятника

T = 2π m / k ,

где m — масса пружинного маятника; k — жесткость пружины.

Период колебаний физического маятника

подвеса и центром масс маятника; L = J/(ml) — приведенная длина физического маятника; g — ускорение свободного падения.

Период колебаний математического маятника

T = 2π l / g ,

где l — длина маятника.

Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом Т собственных колебаний в контуре без активного сопротивления и индуктивностью L и емкостью контура С,

T= 2π LC .

Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре и его решение:

где Qm — амплитуда колебаний заряда; ω0 = 1 / LC — собственная частота контура.

Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты,

A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ),

где A1 и A2 —амплитуды складываемых колебаний; ϕ1 и ϕ2 — их начальные фазы.Начальная фаза результирующего колебания

Период биений

Т= 2π/∆ω.

Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты,

где А и В — амплитуды складываемых колебаний; ϕ — разность фаз обоих колебаний.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение:

δ = r/(2m) в случае механических колебаний и δ = R/(2L) в случае электромагнитных колебаний); ω0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы; ω = ω02 − δ2

— частота затухающих колебаний; A0e−δt — амплитуда затухающих колебаний.

где τ =1/δ — время релаксации; N — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Добротность колебательной системы

Q = Θπ = ω2δ0 .

где s — колеблющаяся величина, описывающая физический процесс ( x0 = F0 / m в случае механических колебаний, x0 = Um / L в случае электромагнитных колебаний);

Резонансная частота и резонансная амплитуда

Полное сопротивление Z цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение U = Um cos ωt ,

где RL = ωL — реактивное индуктивное сопротивление; RC = 1/(ωC) — реактивное емкостное сопротивление.

Сдвиг фаз между напряжением и силой тока

tg ϕ = ωL − 1 /(ωC) .

R

Действующие (эффективные) значения тока и напряжения

I = Im / 2 ; U = Um / 2 ,

Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,

4.2.УПРУГИЕ ВОЛНЫ

Связь длины волны λ, периода Т колебаний и частоты ν:

λ = vT ; v = λν ,

где v — скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость).

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х,

ξ(x, t)= A cos (ωt − kx + ϕ0 ),

где ξ (x, t) — смещение точек среды с координатой x в момент времени t; А — амплитуда волны; ω —

Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн

∆max = ±2m λ2 ; ∆min = ±(2m + 1)λ2 ,

где m = 0, 1, 2, ... .

Фазовая v и групповая u скорости, а также связь между ними

Уравнение стоячей волны

ξ (x, t)= 2A cos 2λπ x cos ωt = 2A cos kx cos ωt

Координаты пучностей и узлов

Уровень интенсивности звука (Б)

L = lg (I / I0 ),

где I — интенсивность звука; I0 — интенсивность звука на пороге слышимости (I0 = 1 пВт/м2).

Скорость распространения звуковых вали в газах

v= γRT / M ,

где R — малярная газовая постоянная; М — молярная масса; γ = Сp /СV — отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме; Т — термодинамическая температура.

Эффект Доплера в акустике

ν= (v ± vпр. )ν0 ,

vm vист.

где ν — частота звука, воспринимаемая движущимся приемником; ν0 — частота звука, посылаемая источником; vпр. — скорость движения приемника; vист. — скорость движения источника; v — скорость

распространения звука. Верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.

4.3.ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде

где c = 1 / ε0µ0 — скорость распространения света в вакууме; ε0 и µ0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные; ε и µ —соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

Связь между мгновенными значениями напряженностей электрического (Е) и магнитного (H) полей электромагнитной волны