Используя предельный процесс λπ + = λπ − = σ 2/(∆ х)2/2, можно показать, как и выше, что обратное уравнение сходится к обратному уравнению для абсолютного процесса (2.54):

− (∂ Pх, у /∂ t) = µ x(∂ Pх, у/∂ х) + σ 2x(∂ 2Pх, у/∂ х2)/2.

Производные можно взять эвристическими и только доказать поточечную сходимость, хотя это может быть строго обобщено, чтобы показать равномерную сходимость. Кроме того, необходимо добавить, что поскольку S рассматривается как стоимость, мы в уравнения (2.51) и (2.54) вводим поглощающий барьер при S = 0. Это показывает, что как в (2.51), так и в (2.54) положительное S будет стремиться к нулю с положительной вероятностью.

§9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ ДЛЯ РАЗРЫВНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Структуру обоснования хеджирования, используемую для получения формул определения стоимости опционов, можно проиллюстрировать в довольно общей постановке. Первым шагом является выбор конкретного стохастического процесса, управляющего изменением цен лежащего в основе актива, скажем, акции с ценой S. Предположим, что можно записать случайное изменение S в дифференциальном виде как

Как и в примере § 8, µ S и σ S выбираются как функции текущего состояния среды, которая для простоты предполагается определяемой только переменными S и t. Считается, что (непредвиденное) стохастическое слагаемое dxS является или приращением винеровской диффузии dW, или единичной пуассоновской переменной dπ . Если dxS – пуассоновское слагаемое, тогда интерпретируем σ S в уравнении (2.55) как заданную величину случайного скачка.

Следующий шаг в наших рассуждениях – задание финансового инструмента, стоимость которого зависит от S, скажем, опциона на акцию, и предположим, что существует достаточно регулярная функция цены P(S, t), являющейся стоимостью опциона в момент времени t при условии, что цена акции в момент t равна S. Введение такой функции позволяет нам (при условии, что µ S, σ S и P – функции с

90

достаточно хорошим поведением в математическом смысле) получить дифференциал изменения стоимости опциона в виде

dP = µ Р dt + σ Р dxS.

Функции µ Р и σ Р теперь зависят от неизвестной функции P и известных значений S и t. Если dxS следует единичному процессу Пуассона, тогда σ Р может рассматриваться как случайная функция, значения которой зависят от функции P и величины скачка σ S, но не обязательно пропорциональны σ S.

Экономические рассуждения, которые приводят к формуле для определения цены опциона, основаны на наличии третьего актива, зарабатывающего деньги согласно безрисковой мгновенной процентной ставке r, которую будем принимать постоянной ставкой для свободного взятия или дачи кредитов индивидуальными лицами. Мы также предположим, что акция S может быть продана на короткий срок продавцом, получающим выручку, и что нет никаких расходов на сделки и налоги. Наиболее важным предположением является то, что деятельность агентов не может влиять на r или какие-либо цены.

При этих предположениях легко показать, что все безрисковые активы должны зарабатывать согласно безрисковой процентной ставке r, чтобы предотвратить арбитраж.

Задачу о стоимости опциона при случайных скачках можно решить на более чем одно значение, как в процессе (2.50) рождения и гибели, где π + и π − не равны нулю. Однако для того, чтобы сделать это, требуется введение дополнительных акций для обеспечения аргументов хеджирования, как это сделали Кокс и Росс (Cox, Ross, 1976), или использовать арбитражные рассуждения для получения приближенной формулы, как в работе Мертона (Merton, 1990). Чтобы избежать каждой из этих возможностей, в дальнейшем предположим, что если dxS является процессом Пуассона, то скачки величиной σ S (и σ Р) – неслучайные функции.

Из этого следует, что имеется хеджирующий портфель из акции

91

ния соответствующих параметров, и будут идентично определять стоимости опционов. В случае модели Блэка – Шоулса, например, уравнение (2.59) не зависит от µ , и единственно уместными параметрами для задачи определения цены являются r и σ . Чтобы решить уравнение (2.58), нам понадобится только найти равновесное решение для P в некоторой среде, где предпочтения заданы и согласованы с конкретными значениями параметров.

Удобным выбором предпочтений для многих задач (хотя можно предусмотреть проблемы, где другая структура предпочтений может быть более подходящей) является нейтральность к риску. В такой равновесной среде требуется, чтобы ожидаемые доходы на акцию и опцион получались согласно одинаковой безрисковой ставке. Тогда для акции

Аналогично, если мы рассматриваем общий европейский опцион с граничным значением P(S, T) = h (S), тогда условное математическое ожидание в момент t

где F (ST, Т |St, t) является распределением вероятности цены акции ST в момент Т при условии, что цена акции была равна St в момент t < Т.

Уравнения (2.60) и (2.61) обеспечивают решение задачи определения стоимости опционов. Уравнение (2.60) используется для того, чтобы удовлетворять любым конкретным требованиям к набору параметров, которые предусматриваются уравнением хеджирования. Блэк и Шоулс впервые нашли уравнение (2.59) путем подстановки µ = r в формулу Спренкла (см. § 2) для стоимости опциона. Мертон также заметил, что подстановка α = β = r в модель α − β Самюэльсона дает решение Блэка – Шоулса.

Из уравнения (2.61) видно, что зная функцию распределения процесса цены акции, можно определить и стоимость опциона. Обратное обычно также имеет место. В дальнейшем функции или вели-

93

чины будем называть терминальными, если они характеризуют значения процесса в дату погашения, исполнения или истечения. В случае европейских опционов-колл, например, общая формула определения цены опциона (2.61) для произвольных цен исполнения K подразумевает знание всех правых квазимоментов терминального распределения цены акции при условии, что уравнение (2.60) удовлетворяется. Однако это эквивалентно знанию самого распределения. Можно описать формальное доказательство этого утверждения. Нам только нужно показать, что квазимоменты определяют распределение. Предположим, что два распределения F и G имеют одинаковые квазимоменты или эквивалентно одинаковые стоимости опционов для всех цен исполнения K. Семейство функций fE(S) = max{S − K, 0} порождает решетку K (замкнутую относительно добавления и умножения на константу) на компактных множествах на линии, которая содержит постоянные функции и отдельные точки. Решетчатая структура явля-

ется ближайшей и для K' > K, fE(S) − fE′′(S) = K' − K, S ≥K', т. е. постоянная.

По теореме Стоуна – Вейерштрасса на компактном множестве решетка K уплотняется непрерывными функциями, и так как F и G согласованы на K, из леммы Релли – Брэя следует, что они согласованы на всех непрерывных функциях. Другими словами, задача определения стоимости опциона реально эквивалентна задаче определения распределения цены акции S, изменение которой управляется постулированным процессом (2.55). Это устанавливает важную связь между задачей определения стоимости опционов и основами стохастических процессов.

Хорошо известно, что переходные функции распределения вероятностей F(ST, Т |St, t) удовлетворяют двум центральным уравнениям: прямому (или Фоккера – Планка) и обратному уравнениям Колмогорова. Обратные уравнения описывают способ, с помощью которого F(ST, Т |St, t) изменяется с текущим временем t. Например, обратное уравнение для диффузионного процесса (2.45) задается выражением

где S t = S и F(ST, Т |St, t) должны удовлетворять уравнению (2.62) для всех значений (ST, Т ).

Всреде, нейтральной к риску, из равенства (2.60) дрейф на акцию

µ= r. Предположим теперь, что мы рассматриваем обратное уравне-

94