Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ульяновское Высшее Авиационное Училище Гражданской Авиации

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА / Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики. Ч.1. Минск. 2003.pdf

Скачиваний:

104

Добавлен:

20.04.2015

Размер:

3.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2619 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Чтобы построить стохастический процесс { Х(t), t ≥ 0} со стационарными и независимыми приращениями, Х(0) = 0 и ПФМ

М(z, t) = [М(z, 1)]t,

можно применить следующую теорему: для заданной производящей функции моментов ξ (z) безгранично делимого распределения имеется единственный стохастический процесс { W(t)} со стационарными и независимыми приращениями, W(0) = 0, такой, что

E[ezW (t) ] = [ξ (z)]t .

Нормальное распределение, распределение Пуассона, гаммараспределение и обратное распределение Гаусса являются четырьмя примерами безгранично делимых распределений. Далее рассмотрим моделирование такими процессами изменений цен акций.

§ 3. ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЦЕН ОПЦИОНОВ

Результаты § 2 применим для получения формул для стоимости европейского опциона в трех классических моделях изменения цены акций. Эти три формулы общеизвестны и их можно найти в учебниках по финансовой математике.

Затем рассмотрим две нетрадиционных модели с изменением цены акций в непрерывном времени. Аналогично чисто скачкообразной модели здесь предполагается, что

S (t) = S (0) е Х(t) = S (0) е Y(t) – сt,

где с является константой.

Случайный процесс { Y(t)} в первой модели является гаммапроцессом, а во второй модели – обратным гауссовским процессом. Эти два случайных процесса использовались в моделях совокупных страховых выплат. Напомним, что в чисто скачкообразной модели все скачки имеют одну и ту же величину. Однако в рассмотренных моделях этого не предполагается.

Логарифм цены акции как винеровский процесс

Сделаем классическое предположение, что цены акций распределены логарифмически нормально. Стохастический процесс { Х(t)} бу-

244

дет процессом Винера со средним значением за единицу времени рав-

ным µ и дисперсией за единицу времени σ 2. Пусть N(х; µ	, σ 2) обо-
значает нормальную функцию распределения со средним µ	и диспер-
сией σ 2. Тогда
F (х , t) = N(х; µ t, σ 2t)
и
М(z, t) = ехр{ (µ z + σ 2z2/2)t} .
Из представления (6.4) следует, что
М(z, t; h) = ехр{ [(µ + hσ 2) z + σ 2z2/2]t} .

Значит, преобразование Эсшера (с параметром h) винеровского процесса является опять винеровским процессом с модифицированным средним за единицу времени (µ + hσ 2) и прежней дисперсией за единицу времени σ 2. Таким образом,

F(х, t; h) = N(х; (µ + hσ 2)t, σ 2t).

Из уравнения (6.8) получаем

r = (µ + h*σ 2) + σ 2/2.

Следовательно, преобразованный процесс имеет среднее за единицу времени

µ * = µ + h*σ 2 = r − (σ 2/2).

Теперь из формулы (6.10) следует, что стоимость европейского опциона-колл равна

S(0)[1 − N(k; (µ * + σ 2)τ , σ 2τ )] −	е− r τ K [1 − N (k; µ	*τ , σ 2τ )] =
= S(0)[1 − N(k; (r + σ 2/2)τ , σ 2τ )] −	е− r τ K [1 − N (k; (r −	σ 2/2)τ , σ 2τ )].

Через функцию стандартного нормального распределения Ф этот результат можно выразить как

S(0) Φ	− k + (r + σ 2	2)τ	− e− rτ KΦ	− k + (r − σ 2	2)τ	,	(6.12)
S(0) Φ			− e− rτ KΦ			,	(6.12)
	σ τ			σ τ
	σ τ			σ τ

что является классической формулой Блэка – Шоулса для определения цены опциона. Заметим, что µ в формуле (6.12) не появилось.

245

Логарифм цены акции как сдвинутый процесс Пуассона

В качестве следующей рассмотрим так называемую чисто скачкообразную модель. Определение цены опционов на акции с таким стохастическим поведением было рассмотрено в гл. 2; однако там не получена формула для цены опциона. Эта формула обычно получается как предельный случай биномиальной формулы определения цены опциона, которую выведем позже.

Здесь же предположим, что

Х(t) = kN(t) − сt,

где { N(t)} – процесс Пуассона с параметром λ , а k и с – положительные константы.

Пусть

Λ (x; θ ) =	∑	θ j	e− θ
0≤	j≤ x	j!

является пуассоновским распределением с параметром θ . Тогда функция распределения Х(t)

	x +	ct
F(х, t) = Λ			;	λ t .
F(х, t) = Λ	k		;	λ t .
Так как	k
Так как
Е [е z N (t)] = ехр{λ t (е z − 1)} ,
имеем
М(z, t) = Е[е z (N (t) - с t)] = ехр{ (λ				(е zk −	1) − сz) t} ,
откуда получаем
М(z, t; h) = ехр{ (λ е hk(е zk −				1) −	сz) t} .

Следовательно, преобразование Эсшера с параметром h сдвинутого процесса Пуассона – снова сдвинутый процесс Пуассона с модифицированным параметром Пуассона λ е hk. Формула (6.8) является условием того, что

r = λ е h* k (еk − 1) − с.

246

Таким образом, стоимость ФП определяется согласно модифицированному пуассоновскому параметру

λ * = λ е h* k = (r + c)(ek − 1).

Например, цена европейского опциона-колл согласно формуле

(6.10) имеет вид

k + cτ

; λ

− Ke− rτ

−

k + cτ

; λ *

. (6.13)

S(0) 1− Λ

*ek τ

Формулу (6.13) можно найти в учебниках, однако использование

преобразования Эсшера значительно упрощает ее вывод.

Заметим,

что пуассоновский параметр λ в выражении (6.13) не присутствует.

Логарифм цены акции как случайное блуждание

Очень популярной моделью для определения цены опциона является биномиальная модель, которая является моделью дискретного времени. Хотя в этой главе рассматриваются модели непрерывного времени, ввиду важности биномиальной модели можно отклониться от него и получить биномиальную формулу определения цены опциона для дискретного времени методом преобразования Эсшера.

Предположим, что цена акции

S (t) = S (0) е Х(t), t = 0, 1, 2,…,

является стохастическим процессом с дискретным временем. Пусть Х1, Х2,… – последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Определим Х(0) = 0 и для t = 1, 2,…, τ

Х(t) = Х1 + Х2 + … + Хt.

Пусть Ω обозначает множество точек, в которых Хj имеет положительную вероятность. Предположим, что множество Ω конечное и состоит более чем из одной точки; пусть а будет его наименьшим элементом, а b – наибольшим. Чтобы избежать арбитража, положим а < r < b. Предположим, что { S(t)} является мультипликативным биномиальным процессом, то есть, что Ω состоит только из двух элементов: Ω = { а, b} . Предположим, что

247

рrоb { Xj = b} = p и рrоb { Xj = а} = 1 − p.

Пусть		n
B(x; n, θ ) = ∑		n	θ j(1− θ) n− j
B(x; n, θ ) = ∑			θ j(1− θ) n− j
0≤
0≤	j≤ x	j

обозначает биномиальную функцию распределения с параметрами n

и θ . Тогда функцией распределения случайной величины Х(t)

явля-

ется

−

F(х, t) = prob

∑

≤ x =

; t, p .

j =

b −

Так как

М(z, t) = Е[е zХ(t)] = [(1 − р) е аz + р е bz] t,

имеем

М(z, t; h) = М(z + h, t) / М(h, t) = { [1 − π(h)] е аz + π(h) е bz} t,

где

pebh

π(h) =

(1− p) eah + pebh

Формула (6.7) является условием того, что

е r = [1 − π(h*)] е а + π(h*) е b,

из которого следует, что

er − ea .

π(h *) =

eb − ea

Согласно формуле (6.10) стоимость европейского опциона-колл

с ценой исполнения K и датой исполнения τ

равна

k − aτ

; τ , π(h

− Ke−

−

k − aτ

; τ , π(h *)

S(0) 1−

* + 1)

rτ 1

b − a

где	eb

π(h * + 1) =		= π(h*)eb− r .
	[1− π(h) ]ea + π(h)eb
	248

Заметим, что при определении цены опциона нет необходимости знать вероятность р, так как она заменяется π(h*).

Логарифм цены акции как сдвинутый гамма-процесс

Предположим, что

	Х(t) = Y(t) − сt,
где { Y(t)} является гамма-процессом с параметрами α										и β, а поло-
жительная константа с будет третьим параметром. Пусть G(х; α , β)
обозначает гамма-распределение с параметром формы α										и парамет-
ром масштаба β			α			x
		β	α			x
G (х; α , β) =		β				∫ yα − 1e− βydy,			х ≥ 0.
G (х; α , β) =		Γ(α )				∫ yα − 1e− βydy,			х ≥ 0.
		Γ(α )			0
					0
Тогда
F (х, t) = G (х + сt; α t, β)										(6.14)
и						α t
		β				α t
М(z, t) =							e− ctz ,	z <β.
М(z, t) =		β −					e− ctz ,	z <β.
		β −		z
Следовательно,							α t
	β −			h			α t
М(z, t; h) =							e− ctz ,		z <β − h,
М(z, t; h) =	β − h			−			e− ctz ,		z <β − h,
	β − h			−		z

которое показывает, что преобразованный процесс принадлежит к тому же самому типу с параметром β, замененным на β − h. Формула (6.7) означает, что

er =	β − h *		α	e− c.

	β − h * −	1
	β − h * −	1
Определим β* = β − h*. Тогда из (6.14) следует, что
β* = 1 (1− e− (c+				r) α ) .	(6.15)

Согласно формулам (6.10) и (6.14), стоимость европейского оп- циона-колл равна

S (0)[1 − G (k + сτ ; ατ , β* − 1)] − Kе− r [1 − G (k + сτ ; ατ , β*)]. (6.16)

249

Заметим, что параметр масштаба β в выражениях (6.15) и (6.16) не появляется.

Логарифм цены акции как сдвинутый обратный гауссовский процесс

Предположим, что Х(t) = Y(t) − сt, но { Y(t)} теперь является обратным гауссовским процессом с параметрами а и b. Пусть J(х; а, b) обозначает функцию распределения обратного гауссовского процесса

J(х; а, b) = Φ	− a	+		+	e2a b Φ	− a	−		х > 0,
J(х; а, b) = Φ	2x	+	2bx	+	e2a b Φ	2x	−	2bx ,	х > 0,
	2x					2x

где Ф является стандартной нормальной функцией распределения;

F (х, t) = J (х + сt; аt, b).

(Подробное описание обратного гауссовского распределения имеется в книге H. Panjer, G. Willmot, 1992).

Так как ПФМ обратного гауссовского распределения равна

ea( b−	b− z) ,		z <b,
имеем
М(z, t) = eat(		b −	b− z) − ctz ,	z <b.
Поэтому		h − b− h− z) − ctz ,
М(z, t; h) = eat (	b−	h − b− h− z) − ctz ,		z <b − h,

откуда видно, что преобразованный процесс снова принадлежит к ти-

пу исходного с заменой параметра		b	на b − h. Формула		(6.8) приво-
дит к условию r = a ( b − h * −	b −	h * − 1)−		c. Записывая	b* = b − h*,
мы имеем
b * −	b *	− 1 =	c +	r ,	(6.17)
			a

что может рассматриваться как уравнение относительно b*. Из формулы (6.10) следует, что стоимость европейского опциона-колл с ценой исполнения K и датой истечения τ равна

S(0)[1 − J(k + сτ ; аτ , b* − 1)] − Kе− r [1 − J(k + сτ ; аτ , b*)]. (6.18)

Заметим, что параметр b не присутствует в выражениях (6.17) и (6.18).

250

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2619 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

#
20.04.2015592.88 Кб268Кирлица В.П. Практикум на ЭВМ по финансово-экономическим расчетам (БГУ, 1998).pdf
#
20.04.20151.99 Mб215Лиховидов В. Фундаментальный анализ мировых валютных рынков. 1999.doc
#
20.04.20153.45 Mб104Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики. Ч.1. Минск. 2003.pdf
#
20.04.20156.07 Mб202Медведев Г.А. Начальный курс финансовой математики. Минск, БГУ. 2003.pdf
#
20.04.2015215.97 Кб56Сбербанк России Поволжский банк Пример расчета платежей за пользование кредитом.mht
#
20.04.20151.16 Mб121Севастьянов П.В. Финансовая математика и модели инвестиций.pdf