Разные задачи

Пример 19.   Сколькими нулями оканчивается число  (100!) ?                                                       

Решение:   .  Заметим, что так как  , то, если в разложении числа на простые множители окажется  m  «двоек» и  n  «пятёрок», то это число оканчивается  k =  min {m ,  n} «нулями». Очевидно, что в разложении на простые сомножители числа «пятёрок» меньше, чем «двоек». Поэтому здесь  k =  n.  Подсчитаем число «пятёрок».  Из первых  100  натуральных чисел ровно  100 : 5 = 20  чисел делится на  5 ,  а из этих  100  чисел ровно  20 : 5 = 4  числа делятся на  5² ,  поэтому  k =  n = 25 + 4 = 29 .     

Ответ:  29   

 

Пример 20.   При каких значениях параметра  а  уравнение 

                        ax² + 3x + 2a² = 0      имеет только целые корни.

Решение:   Согласно теореме Виета, если у квадратного уравнения есть корни, то   ,   т.е. если  .  Если корни целые, то целыми будут и их сумма и их произведение, т.е. ,      

    .  Тогда  .  Подставляя эти значения в дискриминант, выбираем подходящие: .  Кроме этого нужно рассмотреть случай, когда уравнение не является квадратным, т.е. при  . В этом случае  – целый корень.

    Ответ:   а  { -3 , -3/2 , 0 , 1 }

 

Пример 21.   Найти все такие натуральные числа  n ,  для которых из трёх следующих утверждений два будут верными, а одно – ложным:

                               1)  n + 41  является квадратом натурального числа,              

                               2)  n – 21  делится без остатка на  10 ,

                               3)  n – 48  является квадратом натурального числа.

Решение:   Если число  n – 21   делится без остатка на  10 ,  то число  оканчивается цифрой  1 ,  и оба утверждения  1)  и  3)  ложны, так как квадрат натурального числа не может оканчиваться ни на  2  (как число

 n + 41)  ,  ни на  3  (как число n – 48  ).  Поэтому утверждение  2)  ложно, а утверждения  1)  и  3)  – верны.  Так что  n + 41 =  m²   и  n – 48 =  k²  ,  где  m  и  k – некоторые натуральные числа.  Отсюда получаем, что   m²– k²  =

= (m – k)(m + k) = 89  .  Так как  89 – простое число, то  m – k = 1   и  m + k  = 89 ,  так что  m = 45 ,  k = 44   и  n = 1984 .                                                

Ответ:  1984.

 

Пример 22.   Известно, что   p ,   p+10  ,   p+14    – простые числа.  

                        Найдите   p  .

Решение:   заметим, что  р = 2   не подходит, а   р = 3 –  подходит.  А  при  любом   р > 3  одно из чисел   p+10   и   p+14     делится на   3 .   А именно, если   р = 3к +1 ,   то делится на  3  число  р + 14 , а если   р = 3к + 2,   то делится на  3  число  р + 10 .

Ответ:    р = 3.

 

Пример 23.   В магазине «Непарная обувь» за два дня продали  2  одинаковых правых сапога, 13 одинаковых левых сапог и один валенок, причём в первый день  была выручена та же сумма, что и во второй.  Левый сапог дешевле правого и дороже валенка на одну и ту же сумму. Сколько левых и сколько правых сапог продали в один день с валенком? 

Решение:   Пусть в один день с валенком продано    правых и    левых сапог. Тогда в другой день было продано    и    правых и левых сапог соответственно. Если  с – цена левого сапога, и он на  s  дороже валенка, то цена правого сапога равна  ,  а из условия задачи следует, что  ,

то есть  . Число  p  может принимать одно из трёх значений:  0 ,  1  или  2 .  При    имеем:   ,  и, кроме того,  0 < s < c .  Поэтому  .  При    имеем:    ,  и, кроме того,  0 < s < c .  Поэтому таких   нет .  При    имеем:    ,  и, кроме того,  0 < s < c .  Поэтому таких   нет .

 Ответ:  8  левых сапог и ни одного правого.

 

Пример  24.   В магазине «Мойдодыр» в продаже имеются стиральные порошки в пачках  трёх  сортов: обычный, необычный и превосходный. Сначала количественное соотношение по сортам было  3 : 4 : 6 .  В результате продаж и поставок  со склада это соотношение изменилось и стало  2 : 5 : 8 . Известно, что число  пачек превосходного порошка возросло на  80% ,  а обычного порошка уменьшилось не более чем на  10  пачек. Сколько всего пачек порошка было  в магазине сначала?                                                  

 

Решение:   по условию задачи в магазине было  3n  пачек обычного,  4n  пачек  необычного и  6n  пачек превосходного порошка, так что всего было  13n   пачек порошка, причём  n – натуральное число. А стало в магазине  2m  пачек обычного,  5m  пачек  необычного и  8m  пачек превосходного порошка, причём  m – также натуральное число. Для нахождения  n  и  m  имеем следующую систему условий:

Решая эту систему условий, получим:

 

 

Отсюда находим   к = 1 ,  n  = 20  и   13n  = 260 .

Ответ:     260.

 

Пример 25. (Задание С6 ЕГЭ 2010). Все обыкновенные правильные несократимые дроби, числители и знаменатели которых двузначные числа, упорядочили по возрас­танию. Между какими двумя последовательно расположенными дробями находится число   ?

Решение.  Найдем такие дроби, что  .  Тогда  .  Чтобы дроби были наиболее близкими, нужно, чтобы знаменатели были как можно больше и при этом выполнялись равенства   (наиболее близкие целые числа, удовлетворяющие нужным неравенствам.  Перебором находим:   

Отсюда следует, что  ,  а  .  Из неравенств    находим, что . 

Ответ:   .

 

Пример 26.  (Задание С6 ЕГЭ 2010). При каком наибольшем n найдется n семизначных чисел, являю­щихся последовательными членами одной геометрической про­грессии?

Решение:  .  ,  . Отсюда имеем:  .

Таким образом,  . Чтобы членов прогрессии было как можно больше, ее знаменатель должен быть рациональным числом (т.к. все ее члены – целые числа), большим 1 и самым близким к 1, а именно   Требуется найти такое p, при котором неравенство   выполняется для наибольшего n.  Для каждого  n  надо выяснить, какие степени соседних чисел обе будут семизначными числами.  Путем несложных вычислений находим, что  p = 4,  n =11.

Ответ:  11.

 

Пример 27.  (Задание С6  ЕГЭ 2010).  На числовой оси отмечены все точки с целыми координатами. Раз­решается прыгать на 1 и на 4 вправо или влево. Можно ли за 2010 таких прыжков попасть из точки 1 в точку 2, ни разу не по­падая в точки с координатами, кратными 4?

Решение: Будем считать шаг вправо на 1 положительным, а влево – отрицательным. Положим, мы сделали p шагов на 1 клеточку вправо, l шагов на 1 клеточку влево,  m  шагов на 4 клеточки вправо и  n  шагов на 4 клеточки влево и из точки 1 попали в точку 2 за 2010 шагов. Тогда имеем систему А:   .  При этом числа 1+p  и  1+p – l  не должны делиться на 4, а их сумма при делении на 4 должна давать в остатке 2 (что следует из первого уравнения).  Это возможно в следующих случаях:  1) ,  2)  ,  3)  ,  4)  .  Подставим в систему А по очереди эти  4 случая. 

 1)   Складывая и вычитая уравнения

 

системы, получим систему:  .  Теперь не трудно подобрать какие-нибудь значения параметров, удовлетворяющих системе. Например,  тогда  а тогда 

Ответ:  можно.

 

Пример  28.   Найти все целые корни уравнения       

Решение:                      

 

 

 

Последнему условию делимости удовлетворяют только  k  = -2 , 0  или  -10.  Но всем условиям удовлетворяют только k  = -2 ,   или  -10 .   В первом случае   х = -7,  а во втором  х = -31 .

Ответ:     x  { -7 , -31 }