Разложение полиномов на множители.

Основная  теорема  алгебры.  Всякий полином (многочлен)

    разлагается на линейные и неприводимые квадратные множители в степенях, равных кратности корней.

Теорема  Безу.  Если число    является корнем полинома   кратности  ,  то  полином разлагается на множители:  

.

Следствие.  Если уравнение    с целыми коэффициентами имеет целые корни, то эти корни являются делителями свободного члена  . 

 

Пример 13.   Разложить на множители многочлен  .

Решение:  

.

Ответ:   .

 

Пример 14.    Решить уравнение          x⁴ + 2x³ – 2x² – 6x + 5 = 0 .

Решение:   Пользуясь следствием из теоремы Безу, целые корни ищем среди делителей числа 5.  Корень    подходит. Тогда из теоремы Безу следует, что многочлен делится на .  Разложим на множители наш многочлен: 

Отсюда видно, что уравнение имеет единственный корень    .

Ответ:    .

 

Пример  15.   Найдите наибольшее значение параметра  а ,  при котором уравнение     с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен  -2 .                                                                                      

Решение:   так как  х = -2  – корень уравнения, то  ,  откуда находим .  Поделив далее уравнение     на   (х + 2) ,  получим:  .  Последнее уравнение с целыми коэффициентами должно иметь два различных решения, ни одно из которых не совпадает с  -2 .  Так что имеем следующую систему условий:

      

 

 

Отсюда получаем, что наибольшим значением параметра  а ,  при котором уравнение     с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен  -2 , будет    .

Ответ:   7

 

Решение уравнений в целых числах.

Пример 16.   Решить в целых числах уравнение  

Решение:   перепишем  исходное уравнение в виде

Так как    и   – целые числа, то возможны только следующие четыре случая:

1)                                             2)      

3)                                             4)      

 

 

Ответ:     (1, 2) ,  (-1, -2) ,  (3, 2)  и  (-3, 2)

 

Пример 17.   Решить  в целых числах уравнение      |m – 1| + |9 – 3n| = 7

Решение:   Перепишем исходное уравнение в виде:   .

Так как    и   – целые неотрицательные числа, то возможны только следующие три случая:

1)                                         2)                                             

3)                                             

 

 

Ответ:     (0 , 1) ,  (0 , 5) ,  (2 , 1) ,  (2 , 5) ,  (-3 , 2) ,  (-3 , 4) ,  (5 , 2) ,  (5 , 4) ,  (-6 , 3) ,  (8 , 3)

 

Пример 18.  (Задание С6  ЕГЭ 2010).  Решите в целых числах

                     уравнение                       

Решение.  Преобразуем уравнение к виду:  . Отсюда следует, что m делится на  т, т.е.  .  Если  n  четное, , то . Это уравнение не имеет решений, т.к. при делении на 4 левая часть имеет остаток (-1), а правая имеет остаток 1. Таким образом, n  нечетное, т.е. . Тогда

= . Среди делителей правой части только 2 последовательных числа: 4  и  5  или  -5  и  -4, т.е.   или  . 

Ответ:   или  .