10 Класс «Целочисленность и делимость»

 

Основная теорема арифметики.   Всякое натуральное число единственным образом раскладывается в произведение степеней простых чисел:   .    (Простым называется число, которое не имеет других делителей, кроме 1 и самого себя).

Теорема 1.   Количество делителей числа      , включая 1 и само число, равно  .  

 

Пример 1.  (Задание С6 ЕГЭ 2010). Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра ко­торых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных дели­телей (включая единицу и само число).

 

Решение:   Ищем числа вида .  Воспользуемся теоремой 1 . Из этой теоремы следует, что число различных делителей числа 10 равно 4. Если в разложении числа  на простые множители появится еще 1 сомножитель, кроме 2 и 5, то число делителей будет кратным 4, но число 15 (как количество делителей) не делится на 4. Поэтому других делителей нет, т.е. число  , а количество делителей равно .  Отсюда   или  2)      Тогда искомыми будут числа:  1)   и   

Ответ:       и   

 

Деление с остатком.  

Если при делении числа  на число    получается остаток   ,   то   ,  где     или 

,  где  . 

 

Сравнение чисел по модулю    

Определение.  Говорят, что число    равно числу    по модулю   :

  если разность этих чисел делится на ,  т.е. когда эти числа имеют одинаковый остаток при делении на . 

Заметим, что если число  , то удобно использовать и отрицательные остатки. Например, 

Теорема 2.   Если   то  

 

Пример 2.   На какую цифру оканчивается  разность   9²⁰⁰⁹  – 7²⁰¹⁰  ?                                               

Решение:   9⁰ оканчивается на  1 ,  9¹ оканчивается на  9 ,  9² снова оканчивается на  1 ,  и так далее. Так как  , то  9²⁰⁰⁹  оканчивается на  9 .  Далее,  7⁰ оканчивается на  1 ,  7¹ оканчивается на  7 ,  7² оканчивается на  9 ,  7³ оканчивается на  3,  7⁴ снова оканчивается на  1 ,  и так далее. А так как  ,  то  7²⁰¹⁰  оканчивается на  9 . Поэтому разность  9²⁰⁰⁹  – 7²⁰¹⁰  оканчивается на  0 .     

Другое решение:  (С использованием Теоремы 2). Определить, на какую цифру оканчивается число, означает – найти остаток при делении этого числа на 10.   . 

Ответ:  на  0.    

 

Пример 3.   Покажите, что если  m  и  n  - целые числа, а    m² + n²   делится на  3 , то  m  и  n  оба делятся на  3 .

Решение:   заметим, что числа  ,    и     дают при делении на  3  дают остатки соответственно  0 , 1  и  1 .  Поэтому   m² + n²   делится на  3  тогда и только тогда, когда  m  и  n  оба делятся на  3 .

 

Пример 4. (Задание С6  ЕГЭ 2010).    Решите уравнение    

                                                            в натуральных числах.

Решение:  Одно решение угадывается сразу:   Далее, при делении на 4 число 3 дает в остатке (-1), а число 5 дает в остатке 1, следовательно, правая часть равенства при делении на 4  дает в остатке , а правая часть дает в остатке 1. Отсюда следует, что число  - четное, т.е. .  Тогда уравнение перепишется в виде  .  Правая часть равенства при делении на 3  дает в остатке  1, а правая часть дает в остатке . Отсюда следует, что число k - четное, т.е.  ( p  и  q  теперь больше 1). Уравнение примет вид:  .  Тогда   . Откуда   что дает уже угаданное решение. Если же , то система не имеет решений, т.к. в левой части первого уравнения стоит нечетное число, а в правой – четное.

Ответ:   

 

Наибольший общий делитель (НОД ( )).   

Если числа разложены в произведение степеней простых чисел, то НОД равен произведению общих простых делителей в наименьших, входящих в них степеней.  Этот способ не годится для нахождения НОД буквенных выражений. В этом случае удобно применить другой алгоритм (алгоритм Евклида), который основан на следующем свойстве:

Если числа  делятся на число , то и любая их линейная комбинация с целыми коэффициентами делится на  ,  т.е. число

   делится на    при любых целых  .

 

Пример 5.   Найдите наибольший общий делитель чисел  5040  и  2700 .                                     

Решение:   1-й способ (по алгоритму Евклида).

Поэтому  НОД (5040,  2700) = 180 .

2-й способ (по разложению на простые сомножители).

Поэтому  НОД (5040,  2700) = = 180 .

Ответ:  180

 

Пример 6.  Найти наибольший общий делитель чисел   a = 2²⁰⁰⁵ + 1   и 

                      b = 2²⁰⁰⁶ – 1 .

Решение:   Пользуясь алгоритмом Евклида, выпишем в ряд числа, имеющие общий делитель.  2²⁰⁰⁶ – 1,  2²⁰⁰⁵ + 1, ( 2²⁰⁰⁶ – 1)-(2²⁰⁰⁵ + 1)= ,  .  Таким образом, НОД (a,b) = 3.

Ответ:  НОД (a,b ) = 3.

 

Пример 7.  (Задание С6  ЕГЭ 2010).  Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида р² - 1, где р — простое число, большее 3, но меньшее 2010.

Решение:  При     . Покажем, что при всех простых  число    делится на 24. Среди трех подряд идущих чисел   одно обязательно делится на 3 и это не  , значит  . Среди двух подряд идущих четных чисел   одно обязательно делится на 4, а другое на 2, значит их произведение делится на 8.  Следовательно, число    делится на 24. Это и есть наибольший общий делитель, т.к. это наименьшее из наших чисел и все они делятся на 24.

Ответ:  24.

 

Пример 8.   Найти наибольший общий делитель чисел   . 

Решение:   Пользуясь алгоритмом Евклида, выпишем в ряд числа, имеющие общий делитель.  .

Таким образом, НОД  = 11.

Ответ:    11.

Пример 9.   Доказать, что дробь     несократима.

Доказательство.  Дробь несократима, если числитель и знаменатель – взаимно простые числа, их наибольший делитель равен 1. Найдем его. Пользуясь алгоритмом Евклида, выпишем в ряд числа, имеющие общий делитель.    

Таким образом, НОД  = 1  и дробь несократима.

 

Пример 10.   Найти все целые  , при которых     - целое число.

Решение:  Выделим целую часть дроби     и выясним, при каких    дробь   будет по модулю меньше 1 и не равна 0, т.е. не может быть целым числом.  Решив систему неравенств  , получим    или  , 

 

Т.о., дробь может быть целым числом лишь при .  Подставляя эти числа в дробь, выделяем решения:     

Ответ:    

 

Целая и дробная части числа. 

Целой частью числа    называется наибольшее целое число, не превосходящее данное число  . Обозначается    Т.е., если  ,  то  . 

Дробной частью числа    называется число  . Очевидно, 

. 

Например,       

Пример 11.   Решите в натуральных числах уравнение      ,   где  – целая часть числа  r .    

 

Решение:   Искомые числа не могут быть чётными, так как при    должно выполняться равенство    ,  что невозможно, так как   .  Пусть теперь  n –нечётно,    .  Тогда    .  Итак,   .  Отсюда получаем, что  k = 1 ,  2  или  3 .  Так что  n = 1 ,  3  или  5  .  Непосредственной проверкой убеждаемся, что они все   подходят.  

Ответ:    n = 1 ,  3  или  5 .

 

Пример 12.   Докажите, что если    делится на   ,  то    делится на    .  (Здесь   – целая часть числа  r ) .         

Решение:   Пусть ,    тогда   .  Так как  ,  то  а)   или  б) .  Непосредственной проверкой убеждаемся, что в случае а)     в случае б)      т.о. произведение   делится  на