§ 5. Нумерация наборов чисел и слов

10 ) В теории алгоритмов получил распространение прием, позволяющий

сводить изучение функций от нескольких переменных к изучению функций одной переменной. Он основан на нумерации наборов чисел так, что имеется биективное соответствие между наборами чисел и их номерами, причем функции, определяющие по набору чисел его номер и по номеру сам набор чисел являются общерекурсивными.

Рассмотрим сначала множество

чисел. Рассмотрим следующее упорядочение этих пар, называемое канторовским:

(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(1,1),(2,0),... (1)

Здесь в порядке возрастания n N 0 упорядочиваются пары (x,y)с условием

x+y=n в виде последовательности

(0,n),(1,n-1),...,(x,y),...,(n,0) (2)

Пусть c(x,y)- номер пары (x,у)в последовательности (1), причем считаем c(0,0)=0. Если c(x,y)=n , то обозначим через r , l - функции, удовлетворяющие:

x = l(n) y = r(n)

и, следовательно,

c(l(n),r(n)) = n

Покажем, что функции с, l , r в явном виде выра-жаются через обычные

арифметические функции. Произвольная пара (x,у) находится на месте x+1 в последовательности (2). Далее перед последователь-ностью (2) находятся последовательности, отвечающие элементам (x1,y1) с условием x1+y1=t , где t=0,1,2,...,x+y-1 , и каждый из них содержит t+1 элемент.

Следовательно, элемент (x,y) находится в после-довательности (1) на месте 1+2+...+x+y+x+1 . Поскольку нумерация начитается с нуля , то номер элемента (x,y) в последовательности (1) равен

37

Заметим, что важен не сам вид полученных функций c(x, y) , r(n) , l(n) , а важен факт их эффективной вы-числимости.

Теперь с помощью нумерации пар чисел легко получить нумерацию троек чисел, т.е. элементов множества N 03 . Определим функции :

Аналогично, для наборов произвольной длины r+1 полагаем

cr+1(x1,x2 ,...,xr+1) = cr (c(x1,x2 ),x3,...,xr+1 )

и по определению называем число cn (x1,x2 ,...,xn ) канторовским номером

n-kn (x1,x2 ,...,xn )

Если cn (x1,x2 ,...,xn ) = m , то

xn = r(m)

xn−1 = r(l(m))

x2 = r(l(...l(x )...)) x1 = l(l(...l(x )...))

Теперь имея нумерацию множеств N 0k ( k ≥1) можно ус-тановить нумерацию множества

M = N 0 U N 02 U....U N 0k U...

Положим для любого n N

c(x1,x2 ,...,xn ) = c(cn (x1,x2 ,...,xn ),n −1) (12)

38

Ясно, что c - биективное соответствие между M и N0. Кроме того, если

с(x1,x2 ,...,xn ) = m , то

cn (x1,x2 ,...,xn ) = l(m) n = r(m) +1

Отсюда, используя (11) эффективно определяются x1, x2 ,..., xn .

20 ) Приведем еще одну нумерацию наборов чисел. Номер пары (x,y)

Ясно, что это общерекурсивная функция. При этом если р(x,y)=n , то выполнено

x = exp2 (n +1)

Теперь, имея нумерационную функцию для пар чисел, аналогично предыдущему строим нумерационные функции для -kn чисел и множества

Ясно , что τ -вычислима. Чтобы установить вычис-лимость τ−1 , заметим, что каждое натуральное число имеет единственное представление в двоичной позиционной записи. Т.е. для любого n можно эффек-тивно и однозначно найти

30 ) Рассмотрим теперь вопрос о нумерации слов в некотором алфавите и укажем некоторые из применяемых способов такой нумерации.

Пусть A = {a1,...,ar }- конечный алфавит и пусть A

слов конечной длины в алфавите A , включая и пустое слово λ.

Алфавитная нумерация определяется следующим образом:

c(λ) = 0

39

каждое число есть алфавитный номер одного и только одного слова из

множества A Разложение (16) называется r-ичным разложением числа n с цифрами

1,...,r в отличии от обычного r-ичного разложения с коэффициентами 1,...,r.

положим

g(λ) =1

При этом геделев номер последовательности слов P0,P1,...,Pk определяется

так:

2g( P0 )3 g( P1) .... pk g( Pk )

40 ) Рассмотрим теперь два применения нумерационных функций. а) Утверждение 1 Функция f (x, y) , отличная от нуля на конечном

множестве пар из N 02 общерекурсивна. Док-во.

Действительно, пусть f ≠ 0 на парах чисел (x1, y1 ),...,(xt , yt ) и пусть имеет на них значения z1,...,zt .На остальных парах f (x, y)=0. Положим

u1 = c(x1, y1 ),...,ut = c(xt , yt ) ,где С - нумерационная функция Кантора. Определи» функцию g так:

g(ui ) = zi , i =1,...,t

g(u) = 0 на остальных u N 0 .

40

Было выше показано,что g -общерекурсивна. По построению выполнено f (x, y) = g(c(x, y)) и поэтому f общерекурсивна.

б) Определим сначала понятие совместной рекурсии. В схеме совместной рекурсий функция порождается с помощью нескольких функций.

Пусть для определенности даны функции

g1(x ) g2 (x )

h1(x , y, z,t ) h2 (x , y, z,t )

здесь обозначено x = (x1, x2 ,..., xn ).

Тогда можно определить пару функций f1(x , y) и f2 (x , y) по рекурсии:

f1(x , y) = g1(x ) f2 (x , y) = g2 (x )

f1(x , y +1) = h1(x , y, f1(x , y), f2 (x , y)) f2 (x , y +1) = h2 (x , y, f1(x , y), f2 (x , y))

Утверждение2 Если g1, g2 , h1, h2 -общерекурсивные функции, то f1, f2

также общерекурсивны. Док-во.

Определим функцию , u(x , y) = c( f1(x , y), f2 (x , y)), где С- нумерационная функция Кантора.

Тогда имеем

f1(x , y) = l(u(x , y)) f2 (x , y) = r(u(x , y))

Далее имеем

u(x ,0) = c( f1(x ,0), f2 (x ,0)) = c((g1(x ), g2 (x )))-

частично рекурсивная по условию.

u(x , y +1) = c( f1(x , y +1), f2 (x , y +1)) =

=c(h1(x , y, f1(x , y), f2 (x , y)), h2 (x , y, f1(x , y), f2 (x , y)))

функция u(x , y +1) получается по схеме обычной рекурсии с помощью

функций

g(x ) = c(g1(x ), g2 (x ))

h(x , y, z ) = c(h1(x , y,l(z ), r(z )), h2 (x , y,l(z), r(z )))

Значит функция u(x , y) частично рекурсивна, а потому частично рекурсивны и функции f1(x , y) , f2 (x , y).

41