РЕШЕНИЯ / Теория с Формулами

3.2.Верно.

3.3.Неверно. Процесс I–A – это изотермическое сжатие.

4.1.Неверно. Не учли количество степеней свободы.

4.2.Верно.

4.3.Неверно. Формула была бы верна в том случае, если бы в нее входила

теплоемкость при постоянном объеме.

5.1. Верно. Согласно первому началу термодинамики

Q = ∆U + A,

где Q – тепло, подводимое к системе; ∆U – приращение внутренней энергии системы; A – работа, совершенная системой над внешними телами. Так как тем-

пература системы повышается, то ∆U > 0. Работа, которая совершается при переходе из состояния 1 в состояние 2 каким-либо телом над внешними телами,

А = V∫2pdV .

V1

А > 0, если V2 > V1, т.е. газ расширяется. А < 0, если V2 < V1, т.е. газ сжимается. В первом случае работу совершает система, во втором – внешние силы. Если

Авнеш > ∆U, то Q < 0, следовательно, тепло отводится от системы.

5.2.Неверно. Примените первое начало термодинамики к рассматриваемому процессу; учтите, что величины, входящие в уравнение I начала, являются алгебраическими.

5.3.Неверно. Примените первое начало термодинамики к рассматриваемому процессу.

6.1. Неверно. По определению теплоемкость С = δdTQ . С = 0, если δQ = 0,

т.е. для адиабатического процесса. В рассматриваемом процессе δQ < 0.

6.2. Неверно. По определению теплоемкость С = δdTQ . С = ∞, если dT = 0,

т.е. в случае изотермического процесса. В рассматриваемом процессе dT > 0. 6.3. Неверно. По определению теплоемкость С = δdTQ . С > 0, если δQ и dT

имеют один и тот же знак.

6.4. Верно. По определению теплоемкость С = δdTQ . С < 0, так как δQ < 0, а

dT > 0.

7.1. Верно. Если нагревание происходит при постоянном объеме, тело не совершает работу над внешними телами, и, следовательно, согласно I началу термодинамики все тепло идет на приращение внутренней энергии тела, т.е. молярная теплоемкость при постоянном объеме

21

Сv = dUdT = 2i R .

Если нагревание будет происходить при постоянном давлении, то газ будет расширяться, совершая над внешними телами положительную работу, т.е. молярная теплоемкость при постоянном давлении

Ср = dQdT = dUdT + δdTA = 2i R + R .

Следовательно, Ср > СV.

7.2. Неверно. Согласно определению теплоемкости С = δdTQ , а количество

поглощенного тепла зависит от условий, при которых происходит нагревание. 7.3. Неверно. Для ответа на вопрос примените определение теплоемкости и

Iначало термодинамики.

8.1.Неверно. Это следует из уравнения I начала термодинамики.

8.2.Верно. Q = ∆U + A > 0. А > 0, так р

8.3. Неверно. Сравните температуры газа в состояниях 1 и 2, проведя через точки 1 и 2 изотермы (см. вопрос 1). Затем примените уравнение I начала термодинамики.

9.1. Неверно. Согласно I началу термодинамики

Q = ∆U + A.

Для всех процессов ∆U = 0, так как Т1 = Т3. Следовательно, количество поглощенного тепла будет зависеть от работы, совершаемой газом в каждом процессе. Как графически с помощью диаграммы определить работу газа?

9.2.Неверно. См. ответ 9.1.

9.3.Верно. Согласно I началу термодинамики

Q = ∆U + A.

22

Внутренняя энергия является функцией состояния, и все изменение не зависит от процесса, а определяется только начальной и конечной температурой. Сле-

довательно, для всех процессов ∆U = 0, так как Т1 = Т3. Количество поглощенного тепла будет зависеть от работы, совершаемой газом в каждом процессе. На диаграмме р–V (рис. 18) работа численно равна площади под процессами, изображенными на этой диаграмме. Самая большая площадь под процессом 1–4–3, самая маленькая – под процессом 1–2–3 (рис. 18). Следовательно,

Рис. 18

10.1.Неверно. На данной диаграмме действительно изображен цикл из двух изохор и двух адиабат, но последовательность процессов не соответствует последовательности, указанной в условии.

10.2.Верно. По условию переход из первого состояния во второе совершает-

ся изохорически (параметры первого состояния V1, T1, второго V1, T2), а из второго в третье адиабатически, причем T3 < T2, т.е. температура газа понижается, следовательно, речь идет об адиабатическом расширении.

10.3. Неверно. Процессы 1 → 2 и 3 → 4 на выбранной диаграмме изобарические. Вспомните, что называется изохорическим процессом и как выглядит изо-

хора на диаграмме р–V.

10.4. Неверно. Выбранный цикл, действительно, состоит из двух изохор и двух адиабат. Но в данном случае процесс 2 → 3 – адиабатическое сжатие, следовательно, Т3 > T2, а по условию Т3 < T2.

11.1. Неверно. В этом процессе газ получает тепло от нагревателя, так как Т2 > T1, это следует из диаграммы.

11.2. Неверно. Хотя в этом процессе газ и отдает тепло холодильнику, но в

формуле для КПД под Q2 надо понимать сумму абсолютных значений теплот, отданных холодильнику за весь цикл в целом.

11.3. Неверно. См. ответ 11.2.

23

11.4. Верно. В данном цикле газ отдает теплоту холодильнику в двух процес-

сах: 2 → 3 и 3 → 1. В формуле для КПД под Q2 надо понимать сумму абсолютных значений теплот, отданных холодильнику за весь цикл в целом.

12.1.Неверно. Это работа газа при изотермическом расширении (V2 > V1), требуется найти работу газа за цикл в целом.

12.2.Неверно. Это работа изотермического сжатия.

12.3.Верно. Работа за цикл равна алгебраической сумме работ, совершаемых

газом на разных участках цикла. Причем, если Т2 > T1 и V2 > V1, то цикл будет прямым (рис. 19) и работа в целом за цикл будет положительной.

р2

13.1. Верно. На диаграмме р–V площадь под кривой процесса имеет смысл работы, совершенной газом в процессе. Процессы 2 → 3 и 4 → 1 адиабатические.

Для них Q = 0 и, следовательно, ∆U + Аад = 0. Отсюда Аад= –∆U = – Мm 2i R∆T.

Абсолютные значения ∆Т для процессов 2 → 3 и 4 → 1 одинаковы, поэтому и абсолютные значения работ (т.е. заштрихованные площади, см. рис. 15) одинаковы.

13.2.Неверно. Вспомните смысл площади под кривой на диаграмме р–V.

13.3.Неверно. См. ответ 13.2.

24

Примеры решения задач

Вэтой формуле массу вещества m можно найти, зная плотность вещества ρ

иего объем V

m = ρ V.

Тогда

ρV

N = M NA .

Подставим числовые значения всех величин в системе СИ и вычислим:

N = 13,6 103 10−6 6 1023 = 4,1 1022. 200 10−3

Ответ: в 1 см3 ртути содержится 4,1 1022 молекул.

За д а ч а 2

Вбаллоне вместимостью V = 15 л находится аргон под давлением р1 =

=600 кПа и при температуре Т1 = 300 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до р2 = 400 кПа, а температура

установилась Т2 = 260 К. Определить массу ∆m аргона, взятого из баллона.

25

Поэтому в данном случае необходимо воспользоваться уравнением Менде- леева–Клапейрона.

Аргон находится в двух состояниях. Следовательно,

р1V = mМ1 RT1

и

р2V = mМ2 RT2 .

Выразив из первого уравнения m1, а из второго m2, найдем ∆m = m1 – m2

Подставляя данные задачи и учитывая, что молярная масса аргона MAr = = 40 10–3 кг/моль, окончательно получим:

Ответ: масса аргона, взятого из баллона, ∆m = 3,5 10–2 кг.

З а д а ч а 3

Вычислить плотность азота ρ, находящегося в баллоне под давлением р = = 2 МПа и имеющего температуру Т= 400 К.

где m – масса, V – объем.

Отношение массы азота к его объему можно найти из уравнения Менделеева– Клапейрона

26

T = pVMmR .

Ответ: кинетическая энергия вращательного движения молекулы кислорода εвр = 4,14 10–21 Дж, полная кинетическая энергия молекулы ε = 10,35 10–21 Дж, внутренняя энергия 1 кг кислорода U = 77,8 кДж.

З а д а ч а 5

Определить показатель адиабаты γ идеального газа, который при температуре Т = 350 К и давлении р = 0,4 МПа занимает объем V = 300 л и имеет теплоемкость сv = 857 Дж/К.

Сv = 2i R .

Сдругой стороны, молярную теплоемкость газа Сv можно представить как

Cv = сvтелаν ,

28

где сVтела – теплоемкость тела при постоянном объеме.

Число молей ν легко определить из уравнения Менделеева–Клапейрона

ν = RTpV .

Таким образом, молярная теплоемкость может быть представлена

Из последнего выражения найдем число степеней свободы

Подставим числовые значения и рассчитаем искомую величину:

γ = 1 + 4 105 0,3 = 1,4. 857 350

Ответ: показатель адиабаты γ = 1,4.

З а д а ч а 6

Двухатомный газ при нормальных условиях имеет плотность ρ = 1,3 кг/м3.

Необходимо определить относительную молекулярную массу газа Мr и его удельные теплоемкости при постоянном объеме и давлении.

29

сv = М1 Сv = 2Mi R .

Из уравнения Менделеева–Клапейрона

pV = Mm RT

определим молярную массу газа

M = mRTVp = ρ RTp .

Подставим данные задачи и вычислим М, ср , сv :

М= 1,3 8,3 273 = 29,5 10–3 кг/моль, 105

Молярная масса и относительная молекулярная масса связаны соотношением

M = Mr 10–3 кг/моль,

следовательно, относительная молекулярная масса в данном случае Mr = 29,5.

Ответ: Mr = 29,5, ср = 9,8 102 Дж/кг К, сv = 7,0 102 Дж/кг К.

З а д а ч а 7

Вычислить молярную Ср и удельную ср теплоемкости при постоянном давлении газовой смеси, состоящей из 7 г азота и 20 г аргона.

30