4.2. Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств

Утверждение (о взаимно однозначном соответствии равномощных множеств)

Если между конечными множествами А и В существует взаимно однозначное соответствие, то .

Доказательство: Действительно, если это не так, то либо и тогда, так как соответствие всюду определено, в А найдутся 2 элемента, которым соответствует один и тот же элемент, но тогда нарушена единственность прообраза либо;и тогда, поскольку соответствие сюрьектвно, в В найдутся 2 элемента, соответствующие одному и тому же, но тогда нарушена единственность образа.

Этот факт:

- позволяет установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя мощностей этих множеств;

- дает возможность вычислить мощность множества, установив его взаимно однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляется.

Для иллюстрации этого приема докажем теорему о числе подмножеств конечного множества.

Теорема (числе подмножеств конечного множества)

Если для конечного множества А, , то число всех подмножеств А равно, то есть.

Доказательство:

Занумеруем элементы А по номерам от 1 до n.

и рассмотрим множество двоичных векторов из нулей единиц длины n. Каждому подмножествупоставим в соответствие векторследующим образом:

Например, ,

,

,

.

Здесь и далее знаком “” обозначено “соответствует”.

Например, , то подмножествусоответствует вектор (1, 1, 1, 1, 0), а

.

Поэтому, подмножеству соответствует вектор из нулей, а самому А - из единиц. Очевидно, что установленное соответствие между множеством всех подмножеств множества А и двоичными векторами длины n является взаимно однозначным, и число подмножеств А равно.

А так как является прямым произведением n двухэлементных множеств {0,1} (т. е.), то, в силу следствия из теоремы о мощности прямого произведения множеств, имеем:так как, то есть.

Определение: Множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Для конечных множеств это утверждение доказывается. Для бесконечных множеств оно является определением равномощности.

Определение: Счетные множества это множества равномощные N (т. е. между ними и N можно установить взаимно однозначное соответствие).

4.3. Счетные множества

Утверждение 1:

Множество - счетно. Соответствие между N ивзаимно однозначно. Это было показано в примере.

.

Утверждение 2:

Вообще любое бесконечное подмножество множества N - счетно.

Пояснение. Действительно, пусть . Выберем внаименьший элемент и обозначим его за. Ввыберем наименьший элемент и обозначим его за. Ввыберем наименьший элемент и обозначим его заи т. д. Поскольку для всякого натурального числа имеется лишь конечное множество меньших натуральных чисел, то любой элемент израно или поздно получит свой номер. Эта нумерация, то есть соответствие, и есть взаимно однозначное соответствие междуи N.

Утверждение 3:

Множество - счетно.

Пояснение. Нумерацию можно устроить следующим образом. Разобьемна классы. К первому классуотнесем все пары чисел с наименьшей суммой, такая пара одна — (1, 1).

Ко второму классу отнесем все пары чисел с суммой 3:

.

В общем случае . Каждый класс содержит ровно i пар. Упорядочим теперь классы по возрастанию индексов i, а пары внутри класса по возрастанию первого элемента и занумеруем получившуюся последовательность номерами 1, 2, 3, . . . Очевидно, что если a+b = i+1, то пара (a,b) получит номер:

1+2 + . . . (i - 1) + a ,

(где а – нумерация в классе по возрастанию первого элемента пары, то есть по элементу а). Эта нумерация доказывает счетность.

Следствие (из Утверждения 3)

Множество P - положительных рациональных чисел (то есть дробей вида , где a и b - натуральные числа) - счетно.

Подчеркнем, что нумерация числового множества Р не имеет ничего общего с упорядочением элементов по величине. В множестве Р нет ни наименьшего элемента, ни двух соседних по величине элементов, однако есть элементы с наименьшим номером и с соседними номерами).

Утверждение 4:

Множество и вообщедля любого натуральногоk - счетно.

Доказательство: аналогично (3).

Утверждение 5:

Объединение конечного числа счетных множеств - счетно, то есть счетно, где- конечное число.

Доказательство:

Перенумеруем сначала все первые элементы множеств, затем все вторые и т. д.

Утверждение 6:

Объединение счетного множества конечных множеств - счетно.

Доказательство:

Нумеруем сначала все элементы первого множества, затем все элементы второго и т. д., т. е. счетно , где- конечное число.

Следствие (из Утверждения 6):

Множество всех слов конечного алфавита - счетно.

А - алфавит, - множество всех слов,- конечное число.

Так как , то каждое из этих множеств имеет конечную мощность. Введем обозначение , тогда

,

то есть выполняется утверждение - счетное объединение конечных множеств - счетно. - объединение счетного числа множеств, так как междуи множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие.

Утверждение 7:

Объединение счетного множества счетных множеств - счетно, т. е. - счетное число и- счетное число.

Пример: Объединением счетного множества счетных множеств является, например, - множество всех векторов с натуральными компонентами.

- счетное множество, и для любого i - счетно.

Теорема Кантора:

Множество всех действительных чисел отрезка [0, 1] не является счетным.

Доказательство:

При доказательстве используется так называемый диагональный метод Кантора. Докажем от противного.

Пусть это множество точек отрезка счетно, и существует его нумерация (взаимно однозначное соответствие с N). Расположим все числа, изображенные бесконечными десятичными дробями в порядке этой нумерации.

Рассмотрим любую бесконечную десятичную дробь такую, что

Эта дробь не может войти в указанную последовательность, так как от первого числа она отличается первой цифрой, от второго - второй и т. д. Таким образом, все числа отрезка [0, 1] не могут быть пронумерованы, следовательно, множество всех действительных чисел отрезка [0, 1] несчетно.

Определение: Мощность несчетного множества называется континуум.

Континуальные множества - множества мощности континуум (то есть несчетные множества).

Следствие из теоремы Кантора:

Множество всех подмножеств счетного множества континуально.

Доказательство: - счетное множество.- некоторое его подмножество.

Воспользуемся, как в теореме о числе подмножеств конечного множества, представлением подмножества в виде последовательности (но теперь уже бесконечной!) нулей и единиц.

На i - месте последовательности стоит 1, если входит в данное подмножество.

На i - месте последовательности стоит 0, если не входит в данное подмножество. Получаем(соответствует), гдеследующим образом:

.

Причем, каждый такой вектор единственным образом соответствует десятичной дроби отрезка [0, 1] по принципу: если данную последовательность считать дробной частью двоичного представления числа, то найти его значение в десятичной системе счисления можно по формуле

0,101011... ...

Это взаимно однозначное соответствие между подмножествами счетного множества А и правильными двоичными дробями , которые, в свою очередь, взаимно однозначно соответствуют континуальному множеству чисел отрезка [0, 1] приводит к выводу о том, что мощность множестваV- есть континуум, а, значит, континуальным является и множество подмножеств счетного множества А.