6.2. Свойства бинарных алгебраических операций

Условимся, чтобы последующие соотношения выглядели более привычно, результат применения бинарной операции к элементам а иb записывать не в функциональном виде , а в виде(как это принято в арифметических операциях).

Определение: Ассоциативность.

Операция называетсяассоциативной, если для любых элементов а, b, с

.

Выполнение условия ассоциативности означает, что скобки в выражении можно не расставлять.

Пример:

1. Сложение и умножение чисел ассоциативны, что позволяет не ставить скобки в выражениях и.

2. Возведение в степень - не ассоциативна, так как

не равно .

3. Композиция отображений – ассоциативная операция.

Определение: Коммутативность.

Операция называетсякоммутативной, если для любых элементов a, b

.

Пример:

1. Сложение чисел коммутативно («от перемены мест слагаемых сумма не меняется»): .

Умножение чисел коммутативно: .

2. Вычитание и деление – некоммутативные операции.

Умножение матриц – некоммутативная операция, например:

, но .

Определение: Дистрибутивность.

Операция называетсядистрибутивной слева относительно операции , если для любыхa, b, с

.

Операция называетсядистрибутивной справа относительно операции , если для любыхa, b, с

.

Дистрибутивность разрешает раскрыть скобки.

Примеры:

1. Умножение дистрибутивно относительно сложения слева и справа

.

2. Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа.

,

но не слева, так как не равно

.

3. Сложение не дистрибутивно относительно умножения

,

.

4. Операции пересечения иобъединения множеств дистрибутивны относительно друг друга.

.

.

6.3.Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Алгебры разного типа, очевидно, имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется с помощью вводимых ниже понятий гомоморфизма и изоморфизма.

Пусть даны две алгебры

и

одинакового типа, т. е. арности и;и;и- одинаковы.

Определение: Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В называется отображение , удовлетворяющее условию:

[1]

для всех i = 1, 2, ... , p, арность операцийии всех.

Смысл условия [1]:

Независимо от того, выполнена ли сначала операция в множестве А и затем произведено отображение Г, либо сначала произведено отображение Г, а затем в множестве В выполнена соответствующая операция, результат будет одинаков.

Определение: Изоморфизмом алгебры А на алгебру В называется взаимно однозначный гомоморфизм. В этом случае существует обратное отображение , так же взаимно однозначное.

Пусть . Тогда. Заменим в [1] левые части этих равенств на правые и применимк обеим частям получившегося равенства. Так как, то получим:

,

учитывая, что ,

, , получим

. [2]

Равенство [2] – это то же равенство [1] с заменой Г на , элементов множестваK на элементы множества М и переменой местами и. Иначе говоря,- это изоморфизм В на А.

Утверждение 1:

Если существует изоморфизм А на В, то существует изоморфизм В на А; при этом алгебры А и В называются изоморфными.

Утверждение 2:

Мощности несущих множеств изоморфных алгебр равны (при гомоморфизме это равенство может не выполняться).

Определение: Автоморфизм на себя или автоморфизм – это гомоморфизм при условии, что А = В.

Определение: Изоморфизм в себя – изоморфизм .

Примеры:

1. Пусть - множество всех целых чисел;

- множество всех четных чисел:

а) алгебры иизоморфны. Изоморфизмом является отображение, причем, условие [1] здесь имеет вид: 2 (a + b) = 2 a + 2 b. Поскольку , то- изоморфизм алгебрыв себя.

б) отображение является для алгебрыавтоморфизмом.

Условие [1] имеет вид:

- (a + b) = (-a) + (-b);

в) отображение для алгебрыне является автоморфизмом, так как

.

2. Изоморфизмом между алгебрами иявляется отображение(- положительное подмножествоR).

Условие [1] имеет вид равенства:

.

3. Булевы алгебры и, образованные двумя различными множествами U и одинаковой мощности, изоморфны. Операции у них просто одинаковы, а отображением Г может служить любое взаимно однозначное соответствие междуU и .

Утверждение 3:

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр:

- рефлексивность отношения изоморфизма очевидна;

- симметричность следует из существования обратного изоморфизма;

- транзитивность устанавливается следующим образом: если - изоморфизм А на В,- изоморфизм В на С, то изоморфизмом А на С будет композицияи.

Классами эквивалентности в разбиении по отношению изоморфизма являются классы изоморфных между собой алгебр. Понятие изоморфизма – одно из важнейших в математике. Его сущность, как видно из примеров можно выразить так: если алгебры А и В изоморфны, то элементы и операции в В можно переименовать так, что В совпадет с А.

Из условия [1] изоморфизма следует, что любое эквивалентное соотношение в алгебре А сохраняется в любой изоморфной ей алгебре . Это позволяет получить такие соотношения в алгебре А и автоматически распространить их на все алгебры, изоморфные А. Распространенное в математике выражение «рассматривать с точностью до изоморфизма» означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, т. е. являются общими для всех изоморфных объектов.

В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность.