3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ

27

Из

рассмотренных ранее примеров (2.4)

-

(2.9) эрмитовыми операторами являются:

ˆ

ˆ

(x), xˆ

ˆ

ˆ

является антиэрмитовым.

1,

I

, Ω(x). Оператор дифференцирования

∂x

ˆ +

ˆ

−1

.

(3.12)

U

=U

Определение (3.12) можно переписать и в виде

ˆ

+ ˆ

ˆ ˆ

+

=1.

(3.13)

U U =UU

Примером унитарного оператора может служить оператор

ˆ

iL

U = e

ˆ

,

(3.14)

ˆ

где L – эрмитов. Действительно,

+

∑

in

n +

= ∑

(−i)n

n

−iLˆ

−1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

U

=

n!

L

n!

L

= e

=U .

(3.15)

n

n

Из ранее приведенных примеров (2.4) - (2.9) унитарными операторами являются Iˆ (x)

и

Tε (x).

ˆ

Рассмотрим в пространстве кет-векторов два различных ортонормированных базиса n

и

ˆ

(3.16)

n =U n ,

который является унитарным. Действительно, из условия ортонормировки базиса n

следует

δmn = m n = Um Un =

ˆ + ˆ

(3.17)

m U U n ,

Но базис

n также ортонормирован, т.е.

ˆ + ˆ

ˆ +

ˆ

−1

, т.е.

m n =δmn . Поэтому в (3.17) U U =1 или U

=U

ˆ

U – унитарный оператор. Таким образом, переход от одного базиса к другому, а, следовательно, и

смена представлений, осуществляется унитарным оператором. (Отметим

только, что нельзя вве-

сти унитарный оператор, переводящий дискретный базис в непрерывный и наоборот).

ˆ

n :

Рассмотрим представление унитарного оператора U (3.16) в базисе

ˆ

(3.18)

m U n = m n .

m n

*

=

n m =

ˆ

*

=

ˆ

+

m .

(3.19)

m U n

n U

ˆ

, можно определить и опера-

В том случае, когда можно построить унитарный оператор U

ˆ

(3.16) можно

Вместо того чтобы преобразовывать один базис в другой унитарным оператором U

осуществить преобразование самих кет-векторов и операторов следующим образом:

a '

ˆ

(3.20)

=U a ,

ˆ

ˆ ˆ ˆ +

.

(3.21)

L '

=ULU

Такие преобразования называются унитарными преобразованиями кет-векторов и операто-

ˆ

ˆ

ров, операторы L и L ' называют унитарно-эквивалентными.

Унитарное

преобразование кет-векторов

не

меняет скалярного произведения: если

ˆ

ˆ

a ' =U a , b ' =U b , то

ˆ

+ ˆ

= a b .

(3.22)

a ' b ' = Ua Ub = a U U b

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

будет унитарно эквива-

L, M

= N , то коммутатор унитарно-эквивалентных операторов L ' и M '

лентен

ˆ

ˆ

ˆ

+

получаем

N ' . Действительно, умножая обе части коммутатора справа на

U , а слева на

U

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

+

ˆ ˆ ˆ

+

=

ˆ

(3.23)

ˆ

+ ˆ

ˆ

U

L, M

U

=UNU

N ' .

С другой стороны, так как

U U

=1, то

ˆ ˆ ˆ ˆ

+

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ +

ˆ ˆ ˆ +

ˆ ˆ ˆ +

ˆ ˆ ˆ +

ˆ ˆ ˆ +

ˆ ˆ

(3.24)

U L, M U

=U

(LM

−ML)U

=ULU UMU

−UMU ULU

= L ', M '

ˆ

ˆ

Если L – эрмитов оператор, то унитарно-эквивалентный ему оператор L ' также эрмитов

ˆ

+

ˆ ˆ ˆ +

)

+

ˆ +

)

+

ˆ+ ˆ

+

ˆ ˆ ˆ

+

ˆ

(3.25)

(L ')

= (ULU

= (U

L U

=ULU

= L ' .

Произведение унитарных операторов также унитарный оператор

ˆ ˆ

ˆ ˆ

+

ˆ ˆ ˆ + +

ˆ ˆ +

ˆ

(3.26)

(U1U

2 )(U1U2 )

=U1U2U2 U1

=U1U1

=1 .

Если унитарный оператор “бесконечно близок” к единичному, то такой оператор называет-

ся инфинитезимальным. В этом случае

ˆ

U можно записать в виде

ˆ

ˆ

ˆ

,

(3.27)

U

=1

+iεF

ˆ

ˆ

+

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ +

ˆ

(3.28)

(1

−iεF

)(1+iεF )= (1+iεF )(1

−iεF

)=1,

ˆ +

ˆ

ˆ

из которого, сохраняя члены только первого порядка малости по ε, получаем F

= F , т.е.

F – эр-

митов.

При инфинитезимальном преобразовании кет-векторы и операторы преобразуются по фор-

мулам

ˆ

a '

=

,

(3.29)

a +iεF a

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(3.30)

A' = (1

+iεF )A(1

−iεF )=

A +iε F, A .

ˆ

По определению, оператор A называется положительно определенным, если

ˆ

≥ 0

(3.31)

a A a

как

ˆ

. Примером положительно определенного оператора может служить оператор

ˆ

+ ˆ

A > 0

F F , где

ˆ

F – произвольный оператор. Действительно,

ˆ + ˆ

=

Fa Fa ≥ 0

(3.32)

a F F a

для любого a . Следовательно,

ˆ

+

ˆ

(3.33)

F F > 0 .

Пусть k

– нормированный на единицу кет-вектор. Рассмотрим оператор,

переводящий

любой кет-вектор

a в кет-вектор, пропорциональный k

:

a → k

k a

ˆ

a ,

(3.34)

= Pk

где k a – скалярное произведение. Очевидно, что оператор

ˆ

определяется кет-вектором k и

Pk

его символически можно записать в виде:

ˆ

= k

k .

(3.35)

Pk

дения k a

, которое умножается на кет-вектор

k .

По определению (3.34), оператор

ˆ

переводит любой кет-вектор

a , не ортогональный

Pk

кет-вектору

k , в кет-вектор, пропорциональный k

. Ортогональный к k

кет-вектор он перево-

дит в нуль. На определяющий кет-вектор

k

ˆ

действует как единичный оператор:

Pk

ˆ

k

= k

k k

= k .

(3.36)

Pk

Pk (x, x ')=

ˆ

x '

= x k k x ' = x k

x ' k

*

*

(3.37)

x Pk

= Ψk (x)Ψk (x '),

т.е. в виде

∞

∞

ˆ

(x, x ')Ψa (x ')dx ' = Ψk (x) ∫

*

Ψk (x)

(3.38)

Pk (x)Ψa (x)= ∫ Pk

Ψk (x ')Ψa (x ')dx ' = k a

ˆ

−∞

−∞

Таким образом,

в функцию, пропорциональную Ψk (x).

Pk (x) переводит функцию Ψa (x)

ˆ +

ˆ

(3.39)

2) идемпотентным

Pk

= Pk ;

ˆ 2

ˆ

;

(3.40)

3) положительно определенным

Pk

= Pk

ˆ

> 0 .

(3.41)

Действительно,

Pk

= ( k

k )

ˆ +

+

= k

+

k

+

= k

ˆ

(3.42)

Pk

k = Pk ;

ˆ 2

= k

k k

k

=

k

k

ˆ

;

(3.43)

Pk

= Pk

ˆ

= a k

k a

=

k a

2

≥ 0 .

(3.44)

a Pk a

ˆ

– особенный оператор, не имеющий обратного.

Оператор проектирования Pk

Пусть теперь k

,

k = 0,..., ∞ – дискретный ортонормированный базис. Свяжем с ним про-

екционные операторы

ˆ

= k

k и их сумму

Pk

∞ ˆ

∞

k .

(3.45)

∑Pk = ∑ k

k =0

k =0

Подействуем этой суммой (3.45) на произвольный кет-вектор

a , получим

∞

ˆ

∞

k a

= a ,

(3.46)

∑Pk a

= ∑ k

k =0

k =0

поскольку промежуточная сумма в (3.46) есть разложение кет-вектора a

по ортонормированно-

∞

ˆ

∞

ˆ

(3.47)

∑Pk = ∑ k

k =1 .

k =0

k =0

Это операторное равенство можно записать и как равенство соответствующих ядер

∞

ˆ

(3.48)

∑P (x, x ')=1(x, x '),

k =0

или с учетом (3.37) и (2.56)

∞

(x ')=δ (x − x ').

∑Ψk (x)Ψ*k

(3.49)

k =0

Равенство (3.47) является необходимым и достаточным условием полноты базиса

k , а (3.49) –

матрица (3.37). В своем собственном базисе оператор проектирования

ˆ

задается обычной беско-

Pk

нечной матрицей

ˆ

m

= n k k m =δnkδmk ,

(3.50)

n Pk