Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кемеровский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

quant_matapp.pdf

Скачиваний:

263

Добавлен:

20.04.2015

Размер:

880.46 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

2. ОПЕРАТОРЫ

§1. Определение и примеры

Если в пространстве кет-векторов задано правило L, позволяющее одному кет-вектору а сопоставить другой кет-вектор

L	(2.1)
a → La

то говорят, что задан оператор L . Оператор помечают буквой со шляпкой и говорят, что оператор

ˆ действует на кет-вектор а и в результате дает новый вектор Lа :

ˆ	= La	(2.2)
L a

Общие свойства операторов удобно изучать через абстрактное действие его на кет-векторы (2.2), но конечный вид операторов удобнее задавать через действие его на представители кетвекторов в том или ином представлении, т.е. на функции. Например, представитель кет-вектора

а в x-представлении – обычная функция Ψa (x)≡ x a . В этом случае (2.2) перепишется в виде

	ˆ					(2.3)
	L(x)Ψa (x) = ΨLa (x)					(2.3)
					ˆ
(индекс новой функции, получаемой после действия оператора L на функцию Ψa(x) согласно §1
			ˆ			x-представителем абстракт-
Главы 1 удобно помечать символом “La”). Оператор L(x) называют						x-представителем абстракт-
	ˆ
ного оператора L .
	В качестве примера рассмотрим несколько простейших операторов
1.		ˆ
1.	Единичный (тождественный) оператор 1 :
	ˆ	= a				(2.4)
	1 a	= a				(2.4)
2. Оператор изменения знака аргумента (оператор инверсии) Iˆ(x) :
	Iˆ(x)Ψa (x) = Ψa (−x)					(2.5)
3.	Оператор дифференцирования ∂ˆ x :		dΨa (x)
	∂ˆ x Ψa	(x) =	dΨa (x)			(2.6)
	∂ˆ x Ψa	(x) =	dx			(2.6)
4. Оператор умножения (на переменную представления) xˆ :
	xˆΨa (x) = xΨa (x)					(2.7)
					ˆ
5. Оператор трансляции (сдвиг аргумента на число ε) Tε (x) :
	ˆ					(2.8)
	Tε (x)Ψa (x) = Ψa (x +ε)					(2.8)
6.	ˆ
6.	Интегральный оператор Ω(x) :
	ˆ	∞
	ˆ	= ∫ e	−( x−x ')2	Ψa (x ')dx '		(2.9)
	Ω(x)Ψa (x)	= ∫ e		Ψa (x ')dx '		(2.9)

−∞

Функция Ωˆ (x, x ') = e−( x,x ')2 , определяющая интегральный оператор в данном примере, назы-

вается ядром интегрального оператора.
7.	ˆ
7.	Оператор комплексного сопряжения K (x) :
	ˆ	*	(x)
	K (x)Ψa	(x) = Ψa	(x)
8.	ˆ
8.	Оператор возведения в квадрат Q(x) :
	ˆ	2	(x)
	Q(x)Ψa	(x) = Ψa	(x)

(2.10)

(2.11)

			15
ˆ		ˆ
Оператор L (или его представитель L(x) ) называется линейным, если для любой линейной
комбинации кет-векторов k	(функций Ψk(x)) имеет место равенство
ˆ	ˆ	ˆ		∑Ck Ψk		ˆ	(x) )	(2.12)
L(∑Ck	k ) = ∑Ck L k	( L(x)		∑Ck Ψk	(x)	= ∑Ck L(x)Ψk	(x) )	(2.12)
k	k			k		k

Таким образом, линейный оператор действует только на кет-векторы в линейной комбинации, а числа оставляет без изменения. Легко проверить, что операторы (2.4) – (2.9) являются линейными, а операторы (2.10) –(2.11) – нет.

В квантовой теории используются только линейные операторы. Поэтому в дальнейшем мы будем только их и рассматривать.

§2. Алгебра операторов.

С операторами можно проводить определенные алгебраические операции и таким способом получать новые операторы.

ˆ	ˆ
Два оператора L и	M называются равными (тождественными), если при действии этих

операторов на один и тот же произвольный кет-вектор получаются также одинаковые кет-векторы:

	ˆ		ˆ			(2.13)
	L a	= M a				(2.13)
	ˆ			ˆ	ˆ	для любого a .
Оператор L называется нулевым (обозначается 0 ), если L a = 0						для любого a .
	ˆ		ˆ		ˆ	ˆ
Суммой (разностью) операторов L и			M называется оператор L ± M такой, что
	ˆ ˆ		ˆ	ˆ		(2.14)
	(L ± M ) a		= L a	± M a		(2.14)
Например, оператор, переводящий функцию Ψa(x) в функцию Ψa(x)+Ψa(-x) есть сумма еди-
ˆ	ˆ
ничного 1	и оператора инверсии I (x) .
Очевидно, что сложение операторов является операцией ассоциативной и коммутативной.
	ˆ		ˆ		ˆ	ˆ
Под произведением операторов L и			M понимаем оператор (LM ) , заключающийся в по-
			ˆ		ˆ
следовательном применении сначала оператора L , а затем					M :
	ˆ	ˆ		ˆ		(2.15)
	(LM ) a = L Ma					(2.15)

Например, произведение операторов инверсии Iˆ(x)				и трансляции T (x)	есть оператор Iˆ(x)T (x) ,
				ε	ε
действующий следующим образом
ˆ	ˆ	ˆ	(x	+ε) = Ψa (−x −ε)	(2.16)
I	(x)Tε (x)Ψa	(x) = I (x)Ψa	(x	+ε) = Ψa (−x −ε)	(2.16)

Умножение операторов ассоциативно, дистрибутивно по отношению к сумме, но, и в этом основ-

ное отличие от обычной алгебры чисел, умножение не коммутативно, т.е. в общем случае
			ˆ ˆ	ˆ ˆ	(2.17)
			LM ≠ ML		(2.17)
Например, произведение Tε (x)Iˆ(x) , действуя на Ψa(x) дает
	ˆ		ˆ	(−x) = Ψa (−x +ε)	(2.18)
	Tε (x)I (x)Ψa		(x) =T (x)Ψa	(−x) = Ψa (−x +ε)	(2.18)
Сравнивая (2.16) и (2.18) видим, что			(x)Iˆ(x) ≠ Iˆ(x)T (x)
		T	(x)Iˆ(x) ≠ Iˆ(x)T (x)
		ε		ε
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ	ˆ
Если LM	= ML то операторы	L и	M называются коммутирующими или перестановочны-

ми. Например, операторы дифференцирования ∂ˆ x и трансляции Tε (x) коммутируют.

ˆ ˆ	ˆ ˆ	то говорят, что операторы		ˆ	и	ˆ	не коммутируют между собой или что
Если LM ≠ ML		то говорят, что операторы		L	и	M	не коммутируют между собой или что
они не перестановочны.
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ	ˆ
Если LM = −ML то операторыL и			M называются антикоммутирующими. Например, опе-

ратор инверсии Iˆ(x) и оператор умножения xˆ – антикоммутируют.

							16
Оператор					ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ	(2.19)
Оператор					L, M		= LM	−ML	(2.19)
					ˆ	ˆ
называется коммутатором операторов L						и M , оператор
					ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ	(2.20)
					L, M +		= LM + ML		(2.20)
– антикоммутатором.
ˆ	ˆ	ˆ		ˆ	. Очевидно, что если коммутатор операторов равен нулю, то
Например, ∂x , xˆ	=1,	I (x), xˆ	+	= 0	. Очевидно, что если коммутатор операторов равен нулю, то

операторы коммутируют, т.е. в произведении их можно переставлять местами.

Для коммутаторов справедливы следующие полезные соотношения, которые легко дока-

зываются из определения (2.19):

ˆ ˆ

= −

(2.21)

L, M

M , L ;

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

(2.22)

L, M +

= L, M

+ L, N ;

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

;

(2.23)

L, MN

= L, M N

+ M

L, N

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

(2.24)

L, M ,

N + M

, L +

L, M

= 0

Например, докажем (2.23). Из (2.19) следует

ˆ ˆ ˆ

(2.25)

L, MN

L(MN ) −

(MN )L

ˆ ˆ ˆ

Добавим к правой части (2.25) и вычтем член MLN , затем сгруппируем слагаемые, тогда

ˆ ˆ ˆ

;

L, MN

= (LMN − MLN )+(MLN − MNL)=

L, M N + M L, N

что и требовалось доказать.

Под произведением оператора

на комплексное число “c”

понимают оператор

cL , ре-

зультат действия которого на любой кет-вектор

равен

(2.26)

cL a = c La

Произведение оператора на число есть частный случай произведения двух операторов, одним из которых является оператор умножения на это число. Для линейных операторов, которые только мы и рассматриваем

	ˆ		ˆ							(2.27)
	cL = Lc									(2.27)
Вернемся снова к определению оператора (2.1). Если соответствие между a и										ˆ
										La (2.1)
взаимнооднозначное, т.е.				ˆ
	a			ˆ						(2.28)
	a	↔ La								(2.28)
	ˆ						ˆ−1		, такой что
то можно ввести для оператора L обратный оператор, обозначаемый							L		, такой что
	ˆ−1	ˆ		= a						(2.29)
	L	La		= a						(2.29)
	ˆ
Сам оператор L в этом случае называется неособенным. Легко видеть, что
	ˆ−1 ˆ			ˆ ˆ−1		ˆ				(2.30)
	L L = LL					=1				(2.30)
ˆ	ˆ
Если L	и M – два неособенных оператора, то		−1
	ˆ ˆ		−1		ˆ	−1 ˆ−1				(2.31)
	(LM )			= M		L				(2.31)
	ˆ ˆ ˆ ˆ		−1	ˆ			ˆ−1		ˆ −1	и исполь-
Действительно, умножая тождество LM (LM )				=1 слева сначала на			L	, а затем на M		и исполь-
зуя (2.30), получим (2.31).				ˆ
Произведение n одинаковых операторов				ˆ	обозначают через
Произведение n одинаковых операторов				L	обозначают через
	ˆ		ˆ	ˆ	=	ˆn				(2.32)
	L	L...L			=	L				(2.32)

и называют n-ой степенью оператора ˆ . По определению, оператор в нулевой степени считается

тождественно равным единичному

ˆ0

(2.33)

Определив степени оператора, можно ввести понятие функции от оператора. Пусть f(x) –

функция, разложимая в окрестности нуля в ряд Тейлора:

∞

f (x) = ∑

f (n) (x)xn

(2.34)

n=0 n!

где f (n) (0) – производные n-го порядка в точке x = 0. Образуем оператор

∞

(n)

f (L)= ∑

(0)L

(2.35)

n=0

заменив в разложении (2.34) переменную x оператором L . Полученный таким образом оператор

f (L) называется функцией f от оператора L . Например

Lˆ

∞

= ∑

(2.36)

n=0 n!

Если оператор ˆ – неособенный, то аналогично можно ввести отрицательную степень опе-

ратора и рассмотреть функции, разложимые в ряд не только по положительным, но и по отрицательным степеням.

Заметим, что	ˆ			ˆ			(2.37)
Заметим, что	L, f			(L) = 0			(2.37)
В заключение этого параграфа отметим, что алгебра коммутирующих операторов похожа
	ˆ		ˆ		ˆ ˆ
на обычную алгебру. Например, если LM = ML то
ˆ	ˆ	2		ˆ2	ˆ ˆ ˆ	2	(2.38)
(L + M )			= L		+ 2LM + M		(2.38)

но если операторы не коммутируют, то даже простейшие правила обычной алгебры не применимы. В частности равенство (2.38) не верно. Поэтому при работе с некоммутирующими операторами нужна определенная осторожность. Докажем, поэтому, несколько полезных теорем о свойствах некоммутирующих операторов.

ˆ	ˆ								ˆ
Теорема 2.1. Пусть операторы L и	M	не коммутируют и L – неособенный. Тогда имеют место
следующие равенства					)	n
ˆ ˆn	ˆ −1		ˆ ˆ ˆ	−1		n			(2.39)
BL B		= (BLB						)	(2.39)
ˆ	ˆ ˆ	−1		ˆ ˆ ˆ			−1		(2.40)
Bf (L)B			= f (BLB						(2.40)

Докажем (2.39). Запишем правую часть в виде произведения n-сомножителей и учтем (2.30). Тогда

ˆ ˆ ˆ −1	)	n	ˆ ˆ ˆ −1	ˆ ˆ ˆ −1	ˆ ˆ ˆ −1	ˆ ˆn ˆ −1
(BLB	)		= BLB	BLB	...BLB	= BL B

что и требовалось доказать. Используя определение функции от операторов (2.35) и доказанное равенство, легко показать и (2.40).

Теорема 2.2. Пусть ˆ и

ˆ
B – некоммутирующие операторы, тогда
e	Aˆ	Be	−Aˆ	ˆ	ˆ ˆ	1 ˆ ˆ ˆ	+...	(формула Ли)	(2.41)
e		Be		= B + A, B		+ 2 A, A, B	+...	(формула Ли)	(2.41)

Доказательство:

Рассмотрим операторную функцию

	ˆ		ˆ		ˆ
f (x) = e	xA ˆ		−xA	,		(2.42)
		Be			f (0) = B

где x- числовой параметр. Производные этой функции по x будут равны

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20181.74 Mб27Programming.docx
#
23.03.2016627.71 Кб9Prokurorskiy_nadzor_-_ugolovny_profil.doc
#
01.05.2019523.26 Кб2PR_grajd_pravo.doc
#
23.04.2019634.37 Кб6Psihologia.doc
#
02.08.201923.96 Кб5Psih_pol_raz_Maskulinnost_i_fiminnost.docx
#
20.04.2015880.46 Кб263quant_matapp.pdf
#
10.11.2019586.75 Кб7rabochaya_programa.doc
#
01.03.2025842.75 Кб0rabochaya_programma_biolog_6-9.doc
#
01.05.20251.01 Mб0rabochaya_tetrad_s_pravkami.docx
#
12.11.2019340.48 Кб5Rabochaya_uchebnaya_programma3_prok_nadzor.doc
#
20.04.2015206.36 Кб7rabota_po_auditu.docx