72

Приложение 5. δ-функция.

а) Определение.

В физике принято использовать обозначение δ(x − x0 ) вместо более корректного обозначения δx0 [ϕ]. При этом не упоминают понятие обобщённой функции, т. е., соблюдая некоторые предосторожности, манипулируют с символом δ(x − x0 ) как с обычной функцией. Это значительно уп-

рощает все формулы.

По определению, если f(x) произвольная непрерывная функция, то

Символ δ(x − x0 ) является обобщением символа Кронекера

0, m ≠ n

δmn = 1, m = n

δ(x − x0 ) можно рассматривать как предельную форму функции, принимающей отличные от нуля

значения только в некоторой малой области около точки x0, где она обнаруживает резкий положительный максимум, причём интеграл от функции по всему пространству остаётся всё время равным 1.

Например:

=1 lim ε =

πε→+0 (x − x0 )2 +ε2

=lim θ(x − x0 +η) −θ(x − x0 )

ηη→0

В последнем выражении θ(x) есть ступенчатая функция Хевисайда:

1, x > 0 θ(x) =

0, x < 0

(Обобщённая функция δ есть производная обобщённой функции Хевисайда).

б) Основные свойства δ-функции.

δ(x) =δ(−x)

δ(ax) = 1a δ(x)

где n — число нулей функции φ(x).

73

xδ(x) ≡ 0

f(x)δ(x −a) = f (a)δ(x −a)

∫δ(x − y)δ( y −a)dy =δ(x −a)

δ(x) = 1 ∞∫ eikx dk

2π −∞

δ(r −r0 ) ≡δ(x − x0 )δ( y − y0 )δ(z − z0 )

1 = −4πδ(r )r

в) Производные δ-функции.

δ-функция имеет производные всех порядков. При этом m-я производная определяется равенством

δ′(x) = i ∞∫ keikx dk

2π −∞

δ(m) (x) = (−1)m δ(m) (−x)

∫δ(m) (x − y)δ(n) ( y −a)dy =δ(m+n) (x −a)

xm+1δ(m) (x) = 0