Упражнения 5

ψa ( p) = ∞∫ dxψ p* (x)ψa (x) =

1

∞∫ e−ipxψa (x) dx ≡ uˆ ψa (x)

−∞

2π −∞

осуществляется интегральным оператором uˆ

с ядром u( p, x) =

1

e−ipx . Ядро оператора обратно-

2π

го преобразования

ψa (x) = ∞∫ dpψx* ( p)ψa ( p) = ∞∫ dpψ p (x)ψa ( p) = uˆ−1ψa ( p) ,

−∞

−∞

согласно (5.40) и (2.86), равно

uˆ−1 ( p, x) =

1

eipx

= u* (x, p) = u+ ( p, x) .

2π

Таким образом, uˆ−1 = uˆ+ , и, согласно (3.12), uˆ

— унитарный оператор.

ˆ

, i = 1, 2, 3, в координатном представлении задаются в виде

2. Три оператора Li

ˆ

∂

∂

L1

(x, y, z) = i( y

∂z

− z

∂y

)

∂

∂

∂

ˆ

ˆ

Li = −iεijk

xj

∂x

,

L2

(x, y, z) = i(z

∂x

− x

∂z

)

k

∂

∂

ˆ

L3

(x, y, z) = i(x

∂y

− y

∂x

)

а) Показать, что эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям

ˆ

ˆ

= iεijk

ˆ

Li

, Lj

Lk .

ˆ2

ˆ

ˆ

б) Найти спектр и собственные функции оператора

L

= Lk

Lk .

Решение.

а) Используя свойства коммутаторов (2.22)-(2.23), получаем

ˆ ˆ

∂

∂

∂

∂

Li

, Lj

= −iε jkl xk ∂xl , −iε jmn xm

∂xn

= −εiklε jmn xk

∂xl

, xm ∂xn

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+[xk

, xm ]

= −εikl

ε jmn xk xm

,

+ xk

, xm

+xm

xk ,

∂x

∂x

∂x

∂x

∂x

∂x

∂x

∂x

l

n

l

n

n l

l

n

Учитывая значения элементарных коммутаторов:

[x , x ]= 0,

∂

,

∂

= 0, x ,

∂

= −

∂

, x

= −δ

,

(1)

ij

k

m

∂xl

i

∂xi

∂xi

i

∂xn

далее получаем

∂

∂

∂

∂

ˆ

ˆ

Li

, Lj

= −εiklε jmn (xk

∂xn

δlm

− xm

∂xl

δkn ) = −εikmε jmn xk

∂xn

+εinlε jmn xm

∂xl

(δ-символы сняли соответствующие суммирования).

Заменим в первом слагаемом индексы суммирования k → m,

n →l, m → n , тогда

57

ˆ

ˆ

∂

Li , Lj

= (−εimnε jnl +εinlε jmn )xm ∂xl .

Для псевдотензора εijk справедливы соотношения

εiklεlmn

=δimδkn −δinδkm , εikl = −εilk ,

(2)

из которых следует, что

(−εimnε jnl +εinlε jmn ) =δijδml −δilδmj −δjiδlm

+δljδmi =δimδlj −δilδjm = εijkεkml .

Поэтому

∂

∂

ˆ

ˆ

ˆ

Li , Lj

=εijkεkml xm

∂xl

= iεijk (−iεkml xm

∂xl

) = iεijk Lk

,

Начнем с первого способа. Запишем оператор

ˆ2

в координатном представлении.

L

ˆ2

ˆ

ˆ

∂

∂

∂

∂

L = Li Li = (−iεijk xj

∂x

)(−iεimn xm

∂x

) = −εijkεimn xj

∂x

xm

∂x

k

n

k

n

Из коммутационных соотношений (1) следует, что

∂

x

= x

∂

+δ

,

∂x

m

m ∂x

km

k

k

тогда

∂

∂

∂

ˆ2

L = −εijkεimn xj xm

∂x

∂x

−εijmεimn xj

∂x

.

k

n

n

Учитывая (2) и вытекающее из него соотношение

ε jmiεimn

= −2δjn ,

далее получаем

∂ ∂

∂ ∂

∂

2 ∂2

∂ ∂

∂

ˆ2

L (x)

= −δjmδkn xj xm

∂xk

∂xn

+δjnδkm xj xm

∂xk

∂xn

+ 2δjn xj

∂xn

= −xj

∂xk

2

+ xj xm

∂xm

∂xj

+ 2xj

∂xj

= (3)

= −r2 +(r , (r , ) ) + 2(r , )

а уравнение (4.2) на собственные функции будет

(

L (

)))

L (

)

−r2

ψ

L (

r

)

+

(

(

L (

r

)))

+ 2

(

r , grad

r

= Lψ

r

(4)

r ,(r , )grad ψ

ψ

x = r sinθ cosϕ

r = x2 + y2 + z2

y = r sinθ sinϕ

ϕ = arctg( y / x) = arcctg(x / y)

(5)

z = r cosθ

θ = arccos(z / r)

Так как в сферической системе координат

=

∂

∂

=

∂2

+

2 ∂

+

1

,

(6)

∂x

∂x

∂r2

r

∂r

r2

θ,ϕ

где

i

i

=

1

∂

(sinθ

∂

) +

1

∂2

,

(7)

θ,ϕ

sinθ ∂θ

∂θ

sin2 θ ∂ϕ

2

58

(r , )= r

∂

,

(8)

то из (3) получаем:

∂r

ˆ2

(x)= −

θ,ϕ ,

(9)

L

а уравнение будет

− θ,ϕψL (r,θ,ϕ)= LψL (r,θ,ϕ)

(10)

ψL (r,θ,ϕ)

будут из гильбертова пространства (ограниченные решения), если L = l (l +1), где l –

целые числа. В этом случае решение – сферические функции (см. Приложение 4)

Y

(θ,ϕ) =α

(2l +1)(l −

m

)!

eimϕ P

m

(cosθ) ,

(11)

m

l,m

4π(l +

m

)!

l

m

, m

где m = 0, ±1, …, ±l и αm = (−1)

≥ 0

1,

m < 0

Второй способ. В рассмотренном в § 3 Главы 4 примере мы показали, что если операторы

ˆ

, i = 1, 2, 3 удовлетворяют коммутационным соотношениям, доказанным в а), то операторы

ˆ2

и

Li

L

ˆ

обладают общим набором кет-векторов l, m , и нашли спектр этих операторов

L3

ˆ2

= l(l +1) l, m ,

L l, m

ˆ

= m l, m ,

L3 l, m

где l = 0, 1/2, 1, 3/2, … ; m = -l, -l+1, …, l-1, l.

ˆ +

ˆ

ˆ

Собственные кет-векторы

l, m находятся согласно (4.85) действием оператора

на

A

= L1

+iL2

начальный кет-вектор

l, −l

:

(l −m)!

ˆ +

l +m

l, m =

(l + m)!(2l)!

( A

)

l, −l

,

(12)

а сам начальный кет-вектор находится из уравнений

ˆ

= 0 ,

l, −l l, −l =1,

(13)

A l, −l

ˆ

= −l

l, −l .

(14)

L3 l, −l

(l −m)!

ˆ

+

(x)

l+m

или ψl ,m (r )=

(l −m)!

ˆ +

(x)

l +m

ψl,−l (r ),

x l, m =

(l + m)!(2l)!

A

x l, −l

A

(15)

(l + m)!(2l)!

где согласно условию задачи

ˆ

+

ˆ

ˆ

∂

∂

∂

A

(x)

= L1 (x)+iL2 (x)

= −(x +iy)

∂z

+ z

∂x

+i

∂y

.

(16)

Таким образом, нам неизвестна пока только функция

ψl ,−l

(r ), которая находится из уравнений

ˆ

ˆ

(x)ψl,−l (r )= −lψl ,−l (r )или

(13)-(14), записанных в x-представлении, т.е. в виде A(x)ψl,−l (r )= 0 ,

L3

с учетом явного вида операторов

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

A(x)= L1 (x)−iL2 (x) и L3 (x)