5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

прерывным спектром, обозначим их через

ˆ

ˆ

ˆ

X1

, X2 ,..., Xn , так и операторы с дискретным спектром

ˆ

ˆ

ˆ

. Все операторы коммутируют между собой. Их собственные кет-векторы

— Σ1

, Σ2

,..., Σm

ˆ

x1,..., xn ,σ1,...,σm

= x1

x1,..., xn ,σ1,...,σm

X1

ˆ

x1,..., xn ,σ1,...,σm

= xn

x1,..., xn ,σ1,...,σm

Xn

(5.1)

ˆ

x1,..., xn ,σ1,...,σm

=σ1

x1,..., xn ,σ1,...,σm

Σ1

ˆ

x1,..., xn ,σ1,...,σm

=σm

x1,..., xn ,σ1,...,σm

Σm

x ,..., x ,σ

1

,...,σ

x ′,..., x

′,σ ′,...,σ

′

=δ(x

− x ′)...δ(x

− x ′)δ

σ σ ′

...δ

σ σ ′

(5.2)

1

n

m 1

n

1

m

1

1

n

n

1 1

m m

∑

ˆ

(5.3)

∫dx1...∫dxn x1,..., xn ,σ1,...,σm x1,..., xn ,σ1,...,σm =1.

x ={x1,..., xn ;σ1,...,σm}.

(5.4)

Введём обобщённую δ-функцию

′

′

′

− x1 )...δ(xn

− xn

)δσ σ ′

...δσ σ ′

(5.5)

δ(x − x ) =δ(x1

1

1

m m

и обобщённый интеграл

∫dx = ∫dx1...∫dxn ∑...∑

,

(5.6)

σ1

σm

рывных переменных и суммирование по всем значениям дискретных.

Тогда выражение (5.1)-(5.3) перепишутся в виде

ˆ

x = xi x ,

ˆ

(5.7)

Xi

i =1,...n ; Σi x =σi x , i =1,..., m ,

x x

′

′

(5.8)

=δ(x − x ) ,

∫dx x

ˆ

(5.9)

x =1,

где теперь согласно (5.4)-(5.6)

x ={x1,..., xn ;σ1,...,σm}.

Любой кет-вектор a может быть разложен по собственным кет-векторам полного набора

наблюдаемых (5.7)-(5.9), образующим базис в оснащённом гильбертовом пространстве

a = ∫dx x

x a

,

x ={x1,..., xn ;σ1,...,σm}.

(5.10)

Коэффициенты разложения x a полностью определяют кет-вектор a

в этом базисе. Со-

вокупность этих коэффициентов, т. е. функция

ˆ

Вставив перед оператором L единичный оператор (5.9)

ˆ

,

(5.21)

получаем

1 = ∫dx′ x′ x′

= ∫dx′

ˆ

x La

x′ a ,

(5.22)

или

x L x′

ψLa (x) = ∫dx′

ˆ

(5.23)

x L x′ ψa (x′) .

Таким образом,

ˆ

′

— ядро

′

ˆ

x L x

L(x, x )

некоторого оператора L(x) , переводящего x-образ

кет-вектора a , т.е. функцию ψa (x) в x-образ преобразованного кет-вектора La

— функцию

ψLa (x) . Символически это действие можно записать в виде

ˆ

(x) .

(5.24)

L(x)ψa (x) =ψLa

Формально (5.24) можно получить из (5.23), положив

ˆ

′

ˆ

′

(5.25)

x L x

= L(x)δ(x − x ) .

ˆ

ˆ

Действительно, пусть

ˆ

Xi — наблюдаемая из полного набора (5.1) с собственными значениями xi и

собственными кет-векторами x

,

x ={x1,..., xn ;σ1,...,σm},

образующими ортонормированный ба-

зис. Тогда ядро оператора

ˆ

равно

Xi (x)

′

ˆ

x

′

= xi

x x

′

′

(5.26)

Xi (x, x ) = x Xi

= xiδ(x − x ) ,

ˆ

(x) , согласно (2.56), является оператором умножения на переменную xi:

а сам оператор Xi

ˆ

(x)

= xi .

(5.27)

ˆ

ˆ

Xi

Аналогично, еслиP1...θm — полный набор наблюдаемых с собственными кет-векторами p ,

ˆ

ˆ

то p-представлением оператора L будет оператор L( p) , определяемый ядром

′

ˆ

p L p .

(5.28)

L( p, p ) =

Операторы

ˆ

ˆ

L(x) и L( p) являются двумя различными представлениями одного и того же

ˆ

ˆ

т. е. связь между яд-

оператора L . Установим связь между x-

и p-представлениями оператора L ,

рами (5.25) и (5.28). Её формально легко можно получить, если в выражении

ˆ

ˆ

p L p′

оператор L

слева и справа умножить на единичные операторы

ˆ

ˆ

= ∫dx′ x′

x′

:

(5.29)

1

= ∫dx x x , 1

ˆ

= ∫dx∫dx′

p x′

ˆ

x′

p′ ,

(5.30)

или

p L p′

x L x′

′

′

*

′

′

L( p, p ) = ∫dx∫dxψ p

(x)L(x, x )ψ p′(x ) =

(5.31)

′

*

ˆ

′

′

*

ˆ

= ∫dx∫dxψ p

(x) L(x)δ(x − x )ψ p′ (x ) = ∫dxψ p (x)L(x)ψ p′ (x)

операторов

ˆ

ˆ

в этом же представлении. Фактически (5.31) есть запись матричного элемента

P1...θm

ˆ

и Lp′ .

p L p′ как скалярного произведения (1.6) через x-представители кет-векторов p