16. Математическое ожидание случайной величины. Свойства.

Пусть - дискретная случайная величина с возможными значениями

и вероятностями этих значений , k = 1,2,…,n.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число

(1)

Если случайная величина имеет бесконечное число возможных значений, то для существования ее математического ожидания необходима сходимость ряда

(2)

Пусть - непрерывная случайная величина, плотность вероятностей которой

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число

(3)

Определение. Математическим ожиданием функции случайной величины называется число

- для дискретной величины

- для непрерывной величины

Определение. Математическим ожиданием многомерной случайной величины называется вектор

,

где

, k = 1,2,…,n

или

, k = 1,2,…,n

Свойства математического ожидания

1. , с = const

2. , с = const

3.

Действительно, для непрерывных случайных величин

,

=

Следствие.

4. Пусть независимы, тогда

Действительно, для непрерывных случайных величин

,

=

17. Дисперсия случайной величины. Свойства

Пусть случайная величина имеет математическое ожидание .

Определение. Дисперсией случайной величины называется число

(1)

Из (1)

(2)

Пусть - дискретная случайная величина с возможными значениями

и вероятностями этих значений , k = 1,2,…,n.

Тогда

(3)

Пусть - непрерывная случайная величина, плотность вероятностей которой . Тогда

(4)

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется число

Определение. Дисперсией случайной величины называется матрица , где

=

Свойства дисперсии

1. , С = const.

2.

3. , где

Действительно

+ = .

Следствие.

а) Пусть независимы, тогда

б) Пусть С = const.

в) Пусть независимы, тогда

4. Пусть независимы, тогда

Действительно

= =

=

Так как

и, следовательно , то

=

=

18. Коэффициент корреляции случайных величин. Свойства

Пусть ξ₁, ξ₂ - случайные величины, для которых существуют

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин ξ₁, ξ₂ называется число

(1)

где

(2)

Если ξ₁, ξ₂ дискретные случайные величины и x_i – возможные значения величины ξ₁, y_i - возможные значения величины ξ₂, то

(3)

Если ξ₁, ξ₂ непрерывные случайные величины и - плотность вероятностей вектора , то

(4)

Свойства коэффициента корреляции

1.

2. в том и только том случае, если ξ₁, ξ₂ связаны линейной зависимостью , .

3. Если ξ₁, ξ₂ независимы, то

= 0

Замечание. Из того, что = 0 еще не следует, что ξ₁, ξ₂ независимы.