Типовая задача

Известны следующие данные о средней продолжительности жизни и потреблении мяса на душу населения по 20 странам мира:

№ п/п	Страна	Средняя ожидаемая продолжительность жизни, лет	Потребление мяса, кг/чел. в год
1	Австрия	77,0	95
2	Австралия	78,2	104
3	Белоруссия	68,0	59
4	Великобритания	77,2	72
5	Венгрия	70,9	59
6	Германия	77,2	86
7	Дания	75,7	98
8	Италия	78,2	79
9	Казахстан	67,6	50
10	Канада	79,0	98
11	Латвия	68,4	56
12	Нидерланды	77,0	88
13	Россия	66,6	46
14	Румыния	69,9	43
15	США	76,7	114
16	Украина	68,8	37
17	Финляндия	76,8	63
18	Франция	78,1	91
19	Чехия	73,9	70
20	Швейцария	78,6	56

Определить наличие и форму связи между средней ожидаемой продолжительностью жизни и потреблением мяса на душу населения. Постройте уравнение регрессии и определите его параметры. По приведенным данным вычислите линейный коэффициент корреляции и детерминации, проверьте правильность выбора формы связи. Сделайте выводы.

Решение

Примем в качестве факторного признака x  потребление мяса на душу населения в год (кг), а в качестве результативного y  среднюю ожидаемую продолжительность жизни (лет).

Для выявления наличия связи между признаками построим поле корреляции:

Точки поля корреляции расположены близко друг к другу и группируются вокруг некоторой линии. Таким образом, можно сказать, что связь между признаками х и у присутствует. Предположим, что она линейная, т.е. можно построить такую прямую линию, расстояние от всех точек графика до которой будет наименьшим (см. рис. ниже).

Построим уравнение регрессии и определим его параметры.

Уравнением, которое характеризует линейную зависимость между двумя показателями, является уравнение прямой (уравнение однофакторной корреляционной связи):

ў_x=a + bx,

Определим параметры a и b с помощью метода наименьших квадратов, для этого решим систему нормальных уравнений:

y_x= na + bx,



y_x x= ax + bx²,

где n — количество наблюдений.

Построим рабочую таблицу для промежуточных расчетов:

№ п/п	x	y	x2	xy
1	95	77	9025	7315
2	104	78,2	10816	8132,8
3	59	68	3481	4012
4	72	77,2	5184	5558,4
5	59	70,9	3481	4183,1
6	86	77,2	7396	6639,2
7	98	75,7	9604	7418,6
8	79	78,2	6241	6177,8
9	50	67,6	2500	3380
10	98	79	9604	7742
11	56	68,4	3136	3830,4
12	88	77	7744	6776
13	46	66,6	2116	3063,6
14	43	69,9	1849	3005,7
15	114	76,7	12996	8743,8
16	37	68,8	1369	2545,6
17	63	76,8	3969	4838,4
18	91	78,1	8281	7107,1
19	70	73,9	4900	5173
20	56	78,6	3136	4401,6
Сумма	1464	1483,8	116828	110044
Ср.знач.	73,2	74,19	-	5502,21

Подставим полученные данные в систему нормальных уравнений:

1483,8= 20a + 1464b,



110044= 1464a + 116828b.

Решив систему уравнений, получим а = 63,21, b = 0,15. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

ў_x=63,21 + 0,15x.

Таким образом, можно утверждать, что связь между душевым потреблением мяса и ожидаемой продолжительностью жизни прямая (т.к. b > 0), причем при увеличении потребления мяса на 1 кг на душу населения в год, средняя продолжительность жизни увеличивается на 0,15 лет.

Для оценки тесноты связи между признаками определим линейный коэффициент корреляции:

.

Рассчитаем недостающие данные:

, тогда

.

Т.к. коэффициент корреляции |r|>0,7, то связь между признаками х и у сильная (тесная).

Оценим качество построенной модели (правильность выбора формы связи), для этого определим коэффициент детерминации:

.

Таким образом, можно утверждать, что на среднюю ожидаемую продолжительность жизни только на 58% влияет факторный признак, т.е. среднедушевое потребление мяса в год. На остальные 42% влияют неучтенные факторы. В данном случае, возможно, целесообразно подобрать другое уравнение регрессии, которое будет более точно описывать связь между изучаемыми признаками.