Глава 19. Элементы квантовой статистики

Статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

Исходным положением классической статистической физики является различимость тождественных частиц (частицу можно отличить от всех таких же частиц по её координатам и импульсу). Классические частицы обладают индивидуальностью. Квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных частиц. В квантовой механике тождественные частицы полностью теряют сою индивидуальность и становятся неразличимыми.

Квантовая статистика – раздел статистической физики, исследующий системы частиц, подчиняющиеся законам квантовой механик. “Объёктом” излучения квантовой статистики является идеальный газ, к которому во многих случаях можно свести реальную систему частиц. Состояние системы невзаимодействующих частиц задаётся с помощью так называемых чисел заполнения . Эти числа указывают степень заполнения данного квантового состояния (одного отдельного энергетического уровня), характеризуемого набором i квантовых чисел, частицами системы, состоящей из множества тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами (частиц с нулевым или целочисленным спином) эти числа могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, 3,…, так как на них не распространяется принцип Паули. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу системы.

Идеальный газ из бозонов (бозе -газ) описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна

Здесь - среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией , k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура, - химический потенциал. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы и может иметь значения . Положительные значения приводят к отрицательным значениям чисел заполнения .

Для системы частиц, образованных фермионами (частицы с полуцелым спином), числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 – для свободных состояний (энергетических уровней) и 1 – для занятых.

Идеальный газ из фермионов (ферми - газ) описывается квантовой статистикой Ферми-Дикара.

Если , то оба распределения переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана

, где .

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Здесь может иметь и положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям ). Если , то оба распределения переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана

, где .

т.е. при высоких температурах оба “квантовых” газа ведут себя подобно классическому идеальному газу.

Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т.е. определить среднее число заполнения . Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы.

Система частиц называется вырожденной, если её свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение бозе-газа и ферми-газа отличается от классической газа и они оба являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Температурой вырождения Т₀ называется температурой, ниже которой отчётливо проявляются квантовые свойства идеального газа.

Вырожденный электронный газ в металлах.

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Среднее число заполнения <N(Е)> электронов в квантовом состоянии с энергией Е при температуре Т = 0⁰К равно

,

где μ₀ – химический потенциал электронного газа при температуре Т = 0⁰К.

Для фермионов <N(Е)> совпадает с вероятностью заселенности квантового состояния, т.к. квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это значит, что для фермионов <N(Е)> - есть функция распределения электронов по состояниям f(E).

При Т = 0⁰К: <N(Е)> = 1, если Е < μ₀ ,

<N(Е)> = 0, если Е > μ_0.

При Е = μ₀ функция распределения скачкообразно изменяется 1 до нуля. Это означает, что при Т = 0⁰К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с Е = μ₀ , заполнены электронами, а все уровни с энергией Е > μ ₀ свободны.

Следовательно, μ₀ есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0⁰ К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми E_F.

,

где m - масса электрона, h - постоянная Планка, n - концентрация свободных электронов в металле (м^-3).

По оценке при n = 10²⁸ – 10²⁹ м^-3

E_F ≃ 5 эВ.

Температура Т₀ вырождения газа находится из условия:

kT₀ = E_F.

Для электронов в металле Т₀ ≃ 10⁴ К, т.е. электронный газ в металле практически всегда вырожден и подчиняется квантовой статистике.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области энергии (порядка ∼kT) в окрестности энергии Ферми E_F. Это объясняется тем, что при Т > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к энергии Ферми E_F, возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше E_F. Вблизи границы Ферми при Е < E_F заполнение электронами меньше 1, а при Е > E_F – больше 0. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например, при комнатной температуре Т ≃ 300 К и температуре вырождения Т₀ ≃ 10⁴ К это 10^-5 от общего числа электронов. Из сказанного следует, что при температуре :

1. энергия свободных электронов в металле не может быть выше энергии Ферми;

2. в каждом энергетическом состоянии не может находиться более 1 электрона.

При температуре выше (Т > 0⁰ К)

1. резкий спад по вертикали функции распределения при Е = E_F сменяется плавной кривой (рис. 179);

2. состояние электронов, обладающих энергией Е«E_F не изменяется при нагревании металла;

3. искажение функции происходит в узком (≃ 2kT) интервале вблизи энергии E_F, из чего следует, что в процессе передачи тепла металлу участвует лишь малая доля свободных электронов, равная отношению kT/E_F. При комнатной температуре kT/ E_F ≃ 0,01, а это означает, что в механизме теплопроводности в металле участвует лишь 1 электрон из 100 свободных.

Несмотря на большое число свободных электронов в металлах молярная теплоемкость металлов мало отличается от молярной теплоемкости полупроводников и диэлектриков, т.к. теплоемкость электронного газа ничтожно мала.

Сверхпроводимость – явление резкого падения удельного сопротивления металлов при низких температурах (близких к Т=0⁰ К), называемых критическими. Наибольшее наблюдавшееся значение критической температуры Т_кр = 20 К.

Проводник при температуре выше критических для него называют сверхпроводником и ему присущ ряд свойств. Некоторые их них:

1. В сверхпроводнике наблюдается незатухающий электрический ток в течение длительного времени (1 год и более).

2. Магнитное поле не проникает в толщу сверхпроводника.

В настоящее время объяснение этому явлению служит образование куперовских пар, состоящих из электронов с антипараллельными спинами, являющихся бозонами, которые склонны накапливаться в основном состоянии в неограниченном количестве, из которого их сравнительно трудно перевести в возбужденное состояние.

Куперовские пары, придя в согласованное движение, остаются в этом состоянии неограниченно долго, обеспечивая незатухающий ток.

131