Электромагнетизм Циркуляция вектора напряженности магнитного поля. Закон полного тока. Вихревой характер магнитного поля

Циркуляцией вектора Н называется интеграл по замкнутому контуру L, где Н_L – проекция вектора Н на направление элементарного отрезка dl контура L.

Пусть по проводнику в направлении за плоскость рисунка течет ток I (рис. 110). Охватим этот проводник (мысленно) замкнутым плоским контуром L. Выделим участок контура dl и рассмотрим произведение H_Ldl. Здесь H_L – проекция вектора Н на направление отрезка dl (на рисунке отрезок АС). Очевидно, что H_Ldl = Hdl_Н (из подобие треугольников со взаимно перпендикулярными сторонами), где dl_{Н –} проекция отрезка dl на направление вектора Н (отрезок АВ на рисунке).

Видно, что

dl_H = r dα,

,

Тогда

т.е. равен току, охваты­ваемому контуром интегрирования. Это равенство справедливо для плоского и неплоского контуров. Если контур интегрирования ох­ватывает несколько токов, то

интеграл равен алгебраической сумме токов, охватываемых конту­ром интегрирования. Здесь n – число токов, охватываемых конту­ром.

Выражения

и

представляет собой выражение закона полного тока. Поля, в кото­рых циркуляция по замкнутому контуру не равна 0, называются вихревыми (или соленоидальными).

Таким образом, магнитное поле является вихревым. Поля, в которых циркуляция по замкнутому контуру равна 0, называются потенциальными. Так интеграл и электростатическое поле является потенциальным.

Закон полного тока можно использовать для расчета магнит­ных полей, например, соленоида и тороида. Соленоид представляет собой цилиндрическую катушку с плотно намотанным проводом. Соленоид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с об­щей прямой осью. Из соображений симметрии витки создают поле, у которого напряженность Н параллельна направлению оси и опре­деляется по правилу правого винта. Если рукоятку вращать по на­правлению тока в витках, то направление движения винта укажет на направление вектора Н.

Возьмем соленоид с током I (рис.111). Выделим замкнутый контур L 1-2-3-4, который захватывает участок соленоида длиной l. Циркуляцию вектора Н по этому контуру можно представить в виде .

Очевидно, что интегралы на участках 2-3 и 4-1 будут равны нулю, т.к. вектор Н перпендикулярен отрезкам 2-3 и 4-1 .

Взяв участок 3-4 далеко за пределами соленоида, где поле заведомо должно быть очень слабым, интегралом можно пре­небречь. Следовательно, можно утверждать, что

.

Контур охватывает суммарный ток n·l·I, где n –число витков, при­ходящихся на единицу длины соленоида. Поэтому согласно закона полного тока

,

H = n·I.

Таким образом, вне бесконечно длинного соленоида напря­женность поля равна нулю, внутри – всюду одинакова и равна nI.

Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток). Теорема Остроградского-Гаусса

Магнитным потоком dФ_В через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная

dФ_B = B_n dS = BdS ,

где B_n = Bcosα – проекция вектора В на направление нормали n к площадке dS (α – угол между векторами n и B), dS = dS·n – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n (рис. 112).

Поток может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos α т.е. определяется выбором направления нормали n.

Направление нормали к поверхности контура, по которому течет ток, задается правилом правого винта, и в силу этого магнитный поток, создаваемый этим контуром с током через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

Поток Ф_В вектора В через произвольную поверхность S ра­вен

Для однородного поля (В = В_n=const) магнитный поток Ф_В через плоскую поверхность S, перпендикулярную В равен Ф_В = ВS. Еди­ница измерения Ф_В [Вб] – Вебер.

Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля: поток вектора магнитной индукции В через любую замкнутую поверх­ность равен нулю:

Напомним, что для электростатического поля (для вектора D)

Сравнение этих выражений свидетельствует об отсутствии магнит­ных зарядов. Линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца, т.е. всегда замкнуты. Другими словами, сколько линий магнитной индукции входит в замкнутую поверхность, столько же и выходит.