Примеры решения задач

1. Найти силу действующую на тело, его кинетическую энергию и закон движения: через 2с если ускорение тела меняется по закону:масса тела 2кг,.

Дано: ;ипри

Найти: ипри;.

Решение:согласно второму закону Ньютона

приt=2c:(1)

По определению

(2) (3)

Из равенства (2) находим скорость:

Следовательно, из (3)

а при

.

Пользуясь полученным уравнением для и имея ввиду, что по определению, найдем уравнение движения:

Так как по условию задачи при, то постоянная интегрирования.

Окончательное уравнение движения решения имеет следующий вид:

Ответ:

2. Сплошной шар массой 400г и радиусом 5 см вращается вокруг оси, проходящий через его центр. Закон вращения шара: рад. Определить момент силы, действующий на шар, число оборотов в секунду и кинетическую энергию шара в момент времени.

Дано:

Найти: М; nи Е_кприt= 1,5c.

Решение:согласно основному уравнению динамики вращательного движения, момент силы, действующих на тело, равен:

,

Где - момент инерции шара. Угловые скоростьи ускорениеопределяется из уравнения:

рад/с;рад/с.

Отрицательный знак ускорения говорит о том, что в данном случае шар тормозится. Число оборотов в 1 секунду связано с угловой скоростью соотношением:

Кинетическая энергия вращательного шара равна: .

Пользуясь полученными формулами, рассчитаем М, nи Е_кприt= 1,5c

,

,

.

Ответ:;;.

3. Шар и сплошной цилиндр имеют одинаковую массу (5 кг каждый) и катятся с одинаковой скоростью 10 м/с. Найти отношение их кинетических энергий.

Дано: =5кг;=10м/с.

Найти: .

Решение:по условию задачи шар и сплошной цилиндр, катятся, т.е. происходит поступательное движение их центров масс и одновременно вращательное движение этих тел относительно собственных осей вращения. Кинетическая энергия катящегося шара равна:

, а цилиндра:

где I₁,I₂и ω₁, ω₂– моменты инерции и угловые скорости соответственно шара и цилиндра.

Момент инерции шара , цилиндра, гдеR₁иR₂– радиусы шара и цилиндра. Так как линейная и угловая скорость связаны соотношением, то выражение для Е_к1и Е_к2приобретет следующий вид:

Откуда

Ответ:

3. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 4 кг кислорода при температуре 200К?

Дано: m= 4 кг; Т = 200К; М = 32 · 10^-3кг/моль.

Найти: ,.

Решение:считаем газ идеальным. Молекула кислорода – двухатомная, число степеней свободы такой молекулыi= 5, из которых три приходится на поступательное и две на вращательное движение. Средняя энергия молекулы, которая приходится на одну степень свободы:

,

где к – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура.

Тогда: ;.

Число молекул, содержащихся в массе mгаза равно:, гдеN_A- число Авогадро. Следовательно, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул кислорода:

,

где - молярная газовая постоянная. Аналогично для средней кинетической энергии вращательного движения молекул кислорода получаем:

Подставляя в полученные формулы числовые значения имеем:

Ответ: ;.

3. Кислород массой 320г нагревают при постоянном давлении от 300 до 310 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Дано: m = 320 кг = 0,32 кг; Т₁= 300 К; Т₂= 310 К; М.

Найти: A,Q, .

Решение: считаем газ идеальным. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении, находим, используя первое начало термодинамики для изобарного процесса.

где молярные теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давленииравны:

;

Молекулы кислорода двухатомные, поэтому для них число степенней свободы . С учетом записанных выражений для молярных теплоемкостей, выражение дляпринимает вид:

(1)

Изменение внутренней энергии

(2)

Работа расширения газа при изобарном процессе . Так как согласно уравнению Клапейрона – Менделеева:

, то окончательно получаем:

(3)

Подставляя числовые значения в формулы (1), (2) и (3), имеем:

.

.

.

Ответ: ;;.

3. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличивается от 1 до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно; б) адиабатно?

Дано: ; ; ; .

Найти: .

Решение: считаем газ идеальным. Согласно первому началу термодинамики элементарное количество теплоты , переданное системе, расходуется на изменение внутренней энергии и на работу против внешних сил:

; ; (1)

Для изобарного расширения :

(2)

При адиабатном расширении отсутствует теплообмен системы с окружающей средой, т.е. , и следовательно из (1) получаем

Работа , совершаемая газом при адиабатном процессе равна:

.

где - показатель степени адиабаты. Для аргона , т.к. газ одноатомный. Тогда . Следовательно, изменение внутренней энергии

(3)

Подставляем числовые значения в (2) и (3), получаем:

А) при изобарном расширении

б) при адиабатном расширении

Знак «-» означает, что внутренняя энергия уменьшилась, т.е. Температура при адиабатном расширении снизилась.

Ответ: ; .

7. Температура нагревателя тепловой машины 450К. Температура холодильника 300К. Определить КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полезную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1525Дж теплоты.

Дано: ; ; .

Найти: , .

Решение: КПД машины равен:

, (1)

где - количество теплоты, передаваемое от нагревателя, - количество теплоты, получаемое холодильником, А – полезная работа, совершаемая тепловой машиной.

Для идеального цикла, каким является цикл Карно, справедливо выражение:

. (2)

где Т₁и Т₂– температура нагревателя и холодильника. Из выражений (1) и (2) получаем

.

А разделив обе части равенства на время t, имеем

или .

где - полезная мощность машины, а - полная мощность. Подставив в полученные выражения данные задачи, получим:

; .

Ответ: ; .

8. Два одинаковых отрицательных заряда по 9 нКл находятся в воде на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля в точке, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов.

Дано: ; ; ; Найти: Е. Решение:напряженность поля, создаваемого в точке А (рис.1) зарядамиQ1иQ2по принципу суперпозиции, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым из зарядов:

(1)

По теореме косинусов:

(2)

Напряженность поля точечного заряда:

,

где - диэлектрическая проницаемость, - электрическая постоянная, - расстояние заряда до точки поля, в которой определяется его напряженность. ЗарядыQ₁иQ₂ отрицательны, следовательно векторы и направлены по линиям напряженности к зарядам. По условию задачи заряды и расположены на одинаковом расстоянии от точки А. Поэтому . Следовательно, формула (2) примет вид:

, где

Тогда напряженность в точке А:

Потенциал, создаваемый системой точечных зарядов данной точке поле ,равен алгебраической сумме потенциалов , создаваемых каждым из зарядов .

Потенциал поля ,создаваемого точечным зарядом ,равен:

Следовательно:

Ответ:

9. Задание 1 нКл переносятся в воздухе из точке, находящейся на расстоянии 10 см от нее. Определить работу ,совершаемую против сил поля ,если линейная плотность заряда нити 1мкКл/м. Которая работа совершается на последних 10 см пути?

Дано:

Найти:

Решение: работа внешней силы по перемещению зарядов их точки поля с потенциалом в точку с потенциалом равна

Бесконечное равномерно заряженная нити с линейной плотностью заряда создает максимально симметричное поле напряженностью .Напряженностью и потенциал этого поля связанны соотношением ,откуда .разность потенциалов точек поля на расстоянии ито нити ln

ln;=

Подставляя формулу(1) найденное выражение для разности потенциалов из(2),определим работу, совершаемую внешними силами по перемещению заряд из точки , находящейся на расстоянии 1м до точки, расположенной на расстоянии 0,1м от нити.

Ответ :;

10. Задание конденсатор 1мкКл, площадь пластины 100 см², зазор между пластинами, заполнен слюдой. Определить объемную плотность энергии поля конденсатора и силу притяжения пластин.

Дано: Q=10^-6 Кл; S= 10^-2м²;.

Найти: ,.

Решение: сила притяжения между двумя равномерно заряженными обкладками конденсатора

где -Поверхностная плотность заряда. Подставляя (2) и (1) получаем

объем плотности электрического поля

Подставляя (2)и (3),получаемая:

Ответ: .

11. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 88 кВ, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции. Индукция равна 0,01 Тл. Определить радиус троектории электрона .

Дано:

Найти:

Решение: В магнитном поле с индукцией В на электрон, движущихся со скоростью перпендикулярно , действует сила Лоренца

,

которая обусловливает центростремительное ускорение электрона при его движении по окружности e=,

где m-масса электрона; e-его заряд; r-радиус троектории его движения.

Пройдя ускоренную разность потенциалов U,электрон приобретает кинетическую энергию,равную работе сил электрического поля m/2=еU. Отсюда находим скорость электрона:

Из уравнения (2) с учетом (3) найдем рисунок траектории:

Ответ: r=0,1м

12. Соленоид длиной 20см и диаметром 4 см имеет плоскую трех слойную обмотку из провода диаметром 0,1мм. По обмотке соленоида течет ток 0,1. Зависимость для материала сердечника дана на рис. 2. Определить напряженность и индукцию поля соленоида, магнитную проницаемость сердечника, индуктивность соленоида и объемную плотностью энергии соленоида.

Дано: ; ; N=3; ; I = 0.1A. Найти: Н, В, , , W, . Решение: Поле внутри соленоида можно считать однородными. В этом случае напряженность поля , (1) где I – сила тока в обмотке; , (2)

где - число витков, проходящих на единицу соленоида; N – число слоев обмотки; d – диаметр провода.

Тогда:

По графику находим, что напряженности 3000 А/м соответствует индукция 1,7Тл. Используя связь между индукцией и напряженностью

(3)

Определим магнитную проницаемость:

Индуктивность соленоида

, (4)

где - длина, - площадь поперечного сечения соленоида, с учетом (2) получаем

.

Объемная плотность энергии магнитного поля