Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект

Рассмотрим другой пример решения квантово-механической задачи – прохождение частицы сквозь потенциальный барьер.

Пусть на пути частицы, перемещающейся только по оси х (одномерное движение, рис. 169) находится потенциальный барьер прямоугольной формы

высотой U (U – значение потенциальной энергии) и шириной l.

Граничные условия задачи можно записать в виде:

U(x) = 0 при x < 0,

U(x) = U при 0 ≤ x ≤ l,

U(x) = 0 при x > l.

При таких условиях задачи классическая частица, обладающая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером при Е > U, либо отразится от него при Е < U и будет двигаться в противоположном направлении, т.е. она не может проникнуть сквозь барьер.

Исходя из квантовых представлений для микрочастицы даже при Е > U имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону, а при Е < U имеется вероятность того, что частица окажется в области x > l, т.е. проникнет сквозь барьер. Такая способность микрочастиц названа туннельным эффектом.

Подобные, казалось бы парадоксальные выводы, следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера для условий данной задачи.

Для областей 1 и 3 эти уравнения имеют вид:

; , где .

Для области 2:

, где .

Общие решения этих дифференциальных уравнений

, ,

,

,

т.е. все три функции представляют собой волны. В 1-й области - это две волны, движущиеся в противоположных направлениях, в 3-й области – одна волна, движущаяся слева направо (поэтому В₃ = 0). Качественный вид функции дан на рис. 167. Функции Ψ₁(х) и Ψ₃(х) имеют вид волн де Бройля, но с разными амплитудами. Волновая функция внутри барьера также не равна нулю. Из этого следует, что частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера. Он определяется как отношение плотности потока прошедших сквозь барьер частиц к плотности потока падающих. Можно показать, что . Аналитическое выражение коэффициента прозрачности

,

где U – высота потенциального барьера; Е – энергия частицы; l – ширина барьера; D₀ –постоянный множитель, близкий к 1.

Видно, что D сильно зависит от массы частицы m, ширины барьера l и от (U – Е). Чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения частицы сквозь него.

Линейный гармонический осциллятор

Система, совершающая одномерное колебательное движение под действием квазиупругой силы F = -kx, называется линейным гармоническим осциллятором (ЛГО). Примерами таких систем служат пружинный, физический и математический маятники.

Потенциальная энергия ЛГО изменяется по закону

,

где k = mω²₀ – коэффициент квазиупругой силы, ω₀ – собственная циклическая частота ЛГО, ω₀ = 2πν, ν – частота колебаний ЛГО, m – масса колеблющейся системы (частицы).

Амплитуда колебаний ЛГО определяется его полной энергией Е. В точках с координатами ±x_max полная энергия Е равна потенциальной энергии. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (-x_max, +x_max). Таким образом, классический осциллятор находится в “потенциальной яме” c координатами -x_max ≤ х ≤ + x_max, ограниченной параболой на рис. 170.

Стационарное состояние ЛГО в квантовой механике определяется уравнением Шредингера вида

В теории дифференциальных уравнений доказано, что решение такого уравнения имеет место лишь при значениях Е, удовлетворяющих равенству

.

Эта энергия называется собственным значением энергии ЛГО.

Выражение Е_n показывает, что: 1) энергия ЛГО квантуется; 2) уровни энергии находятся на одинаковом расстоянии друг от друга ΔЕ = hν 3) снизу энергия ограничена отличным от нуля (в отличие от прямоугольной “потенциальной ямы”) минимальным значением энергии Е₀ = (1/2)hν. Эта энергия называется энергией нулевых колебаний, является типичной для квантовых систем, и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей. В самом деле, “падение на дно ямы” связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координаты частицы становится сколь угодно большой, что противоречит пребыванию частицы в “потенциальной яме”.

Вывод о наличии нулевой энергии ЛГО противоречит выводам классической теории, согласно которой наименьшая энергия, которую может иметь осциллятор, равна нулю, т.е. при Т = 0 энергия колебательного движения атомов кристалла должна обращаться в нуль. Следовательно, должно исчезнуть и рассеяние света, обусловленное колебаниями атомов.

Однако эксперимент показывает, что интенсивность рассеяния света при понижении температуры не равна нулю, а стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что при Т → 0 колебания атомов в кристалле не прекращаются. Это подтверждает наличие нулевых колебаний.

4) строгое решение задачи о ЛГО показывает, что частицу можно обнаружить за пределами дозволенной области |x| ≤ x_max.

Существует отличная от нуля вероятность W обнаружить частицу в той области, которая является классически запрещенной (рис. 171). Это объясняется возможностью прохождения частицы сквозь потенциальный барьер.

Рис. 171