4.2. Функциональные ряды.

Ряд u₁(х) + u₂(х) + …+ u_n(х) + ... = ,члены которого – функции отх, называетсяфункциональным. При конкретных значенияххфункции принимают различные значения и каждому значениюхсоответствует числовой ряд, сходящийся или расходящийся. Совокупность значенийх, при которых функцииu_n(x)определены и ряд сходится, называют областью сходимости функционального ряда. Каждому значениюхиз области сходимостиХсоответствует определенное значение величины . Эту величину, являющуюся функциейх, называютсуммой функционального рядаи обозначают черезS(x). Обозначив сумму первыхn членов ряда черезS_n(x), можно записатьS(x) = S_n(x) + R_n(x), гдеR_n(x)= n–ыйостаток функционального ряда. Еслифункциональный ряд сходится, то остаток егоR_n(x)стремится к нулю приn  .

Функциональный ряд называют равномерно сходящимсяв некоторой области, если для любого сколь угодно малого  0найдется такое целое

положительное N, что приn  Nвыполняется неравенство|R_n(x)| < для любогохиз этой области. СуммаS(x)равномерно сходящегося ряда

есть функция непрерывная в этой области. Достаточное условие равномерной сходимости (признак Вейерштрасса): Если функции u₁(х), u₂(х), …, u_n(х), ... по абсолютной величине не превосходят в некоторой области положительных

чисел а₁, а₂, …, а_n, ..., причем числовой ряд сходится, то функциональный ряд в этой области сходится равномерно.

Равномерно сходящиеся ряды обладают следующими свойствами:

1. Если , где u_n(х) – непрерывные функции, равномерно сходится в

некоторой области и имеет сумму S(x), то (интервал [a, b]

принадлежит рассматриваемой области) сходится и имеет сумму .

2. Если функции u_n (х) – непрерывны в некоторой области и имеют в ней производные u_n`(х) то, если в этой области ряд сходится равномерно, то его сумма равна производной от суммы первоначального ряда: .

Степенные ряды. Степенным называют функциональный ряд вида а₀ + а₁(х – а) + а₂(х – а)² + …+ а_n(x – a)ⁿ + ... = (10.6),

где а и а_nдействительные числа. Числа а_n называюткоэффициентами ряда.Основное свойство степенных рядов определяется теоремой Абеля:Если степенной ряд сходится при х = х₀, то он сходится ( и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству | x – a| < |x₀ – a|.

Одно из следствий теоремы Абеля - существование для всякого степенного ряда интервала сходимости| x – a | < R(a – R < x < a + R) с центром в точкеа. Внутри этого интервала ряд абсолютно сходится, вне его – расходится. На концах интервала, в точкахх = а  R, различные степенные ряды ведут себя по разному: могут сходиться (абсолютно или условно) или расходиться на любом или обоих концах интервала. ЧислоR(половину длины интервала сходимости) называютрадиусомсходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости может быть равен нулю или стремиться к бесконечности. ЕслиR = 0то степенной ряд сходится лишь прих = а(в одной точке), если же R  , то ряд сходится на всей числовой оси.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно использовать следующие способы.

1. Если среди коэффициентов a_nряда нет равных нулю, (ряд содержит все целые положительные степени разностих – а), то(10.7)

при условии, что этот предел (бесконечный или конечный) существует. (Соотношение (10.7) несложно получить из признака сходимости Даламбера).

2. Если общий член ряда имеет вид u_n = a_n(x – a)^pn, гдер = 2, 3, …– целое положительное число, то(10.8).

3. Если среди коэффициентов ряда a_nесть равные нулюи последовательность показателей степенилюбая, то можно воспользоваться формулой (10.9) (В ней используются значенияa_nотличные от нуля). Соотношение (10.9) можно использовать и в случаях 1 и 2.

4. Применить непосредственнопризнаки Даламбера или Коши (радикальный) к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда , гдеu₀ = a₀, u_n(x) = a_n(x –a)^N, где зависимостьN отnможет бытьлюбой, а череза_nобозначается не коэффициент при(х – а)ⁿ, а коэффициентn– го члена ряда. В этом случае интервал сходимости находят из неравенств (10.10) или (10.11).

Отметим еще одно важное свойство степенных рядов: ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена. В разделе 3.3 обсуждалось представление функцииf(x), имеющей все производные по(n + 1)– ю включительно, с помощью формулы Тейлора в окрестности точких = а. (3.31), где остаточный членR_nможет бытьпредставлен в виде (форма Лагранжа).

Если функция f(x)бесконечно дифференцируема в окрестности точких = а, то числоnможно брать сколь угодно большим.

Если , то, переходя в (3.31) к пределу приn  , получим справа бесконечный рядТейлора: (10.12).

Ряд Тейлора сходится к данной функции.

Если в (10.12) положим а = 0, то получим частный случай ряда Тейлора, называемыйрядом Маклорена:(10.12`).

Для всякой элементарной функции существуют такие аиR, что в интервале(а – R, a + R)онаразлагается в ряд Тейлора. Приведем наиболее часто используемые разложения.

; х  (–, ) (10.13)

; х  (–, )(10.14)

; х  (–, ) (10.15)

; х  (–1; 1) (10.16)

; х  [–1; 1] (10.17)

(10.18)

Последнее выражение называют биномиальным рядоми использовать его можно: приm  0, еслих  [–1; 1]

при –1 < m < 0, еслих  (–1; 1]

при m  –1, еслих  (–1; 1).

Приложение рядов к вычислению функций и интегралов.

Приведенные соотношения позволяют находить значения соответствующих функций от произвольного аргумента.

Пример: . Очевидно, 29 = 27 + 2 = 27(1 + 2/27).

Тогда

по формуле (10.18).

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница и сумма отброшенных членов ряда не превышает по абсолютной величине первого отброшенного члена. Это значит, что, учитывая необходимое число членов ряда, искомое значение можно вычислить с любой требуемой точностью. По такому же алгоритму могут решаться и другие подобные задачи.

С помощью рядов можно вычислять и приближенные значения определенных интегралов. Подинтегральную функцию представляют в виде ряда Тейлора (полагаем, что функция удовлетворяет необходимым условиям), этот ряд почленно интегрируют и получают новый ряд, сходящийся к искомой функции.

Пример: вычислить с точностью до 10^–3:

(Можно отбросить уже 3–й член, поскольку он меньше требуемой точности).

Ряды Фурье.

Функциональный ряд вида (10.19)

называется тригонометрическим рядом.Постоянныеa₀, a_n, b_nназываютсякоэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд (10.19) сходится, то его сумма(х)– периодическая функция с периодом2, т.е.(х) = (х + 2).

Вопрос – можно ли ( и при каких условиях) найти тригонометрический ряд, сходящийся к заданной функцииf(x) = f(x + 2)? Предположим, что функцияf(x)представлена рядом (10.19), сходящимся к данной функции на интервале(–; ), т.е.(10.20).

Предположим также, что интеграл от функции f(x)равен сумме интегралов от членов ряда (10.20) (Это предположение справедливо дляравномерно сходящихсяв некоторой областиХрядов вида ). Проинтегрируем (10.20) в пределах от(–; )

, вычисляя отдельно каждый интеграл в правой части: ;

, откуда (10.21)

Прежде чем вычислить другие коэффициенты ряда, приведем несколько формул: Если nиk– целые числа иn  k, то ; ; . Еслиn = k, то;

;;

Умножим обе части (10.20) на coskx (k  0):

(10.20`).

Этот ряд равномерно сходится и почленно интегрируется на любом отрезке. Проинтегрируем (10.20`) в пределах от –; :

; откуда (10.22).

Умножая обе части (10.20) на sinkxи интегрируя в тех же пределах, получим, откуда (10.23).

Коэффициенты, определенные соотношениями (10.21) – (10.23) называют коэффициентами Фурье функцииf(x), а тригонометрический ряд (10.19) с такими коэффициентами –рядом Фурьефункцииf(x). Приведем теорему Дирихле о достаточных условиях представимости функцииf(x)рядом Фурье.

Если функция f(x) в интервале [–; ] имеет конечное число экстремумов и является непрерывной, за исключением, может быть, конечного числа точек разрыва первого рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле), то ряд Фурье в каждой точке интервала [–; ] сходится к функции f(x).

(Отметим, что если х₀– точка разрыва первого рода функцииf(x), то сумма ряда Фурье в точках непрерывности равна значению функции, а в точкех₀ (10.24).

За значение f(x)на каждой из границ интервала[–; ]принимают величину (10.24 `).

Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Известно, что если функция f(x)– четная, то (6.7),

а если нечетная, то (6.8).

Очевидно, что если в ряд Фурье разлагается четнаяфункция, то произведениеf(x) sinnxесть (как иsinnx) функция нечетная, а произведениеf(x) coskx(произведение двух четных функций) – функция четная. В этом случае выражения для коэффициентов ряда Фурье принимают вид:

(10.21`) (10.22`)b_n = 0(10.22`)

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция, то произведение f(x)sinnx(произведение двух нечетных функций) – четная функция, а произведениеf(x) cosnx- нечетная функция и :а₀ = 0(10.21``)

a_n = 0(10.22``) (10.23``).

Пример: разложим в ряд Фурье функцию f(x) с периодом 2определенную как f(x) = х; х[–;] (график на рис 10.1)

Рис. 10.1

Функция удовлетворяет условиям Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье. Функция нечетная и, используя (10.21`) – (10.23``), получим:а₀=0;a_n=0; = [ интегрируем по частям] =

Таким образом во всех точках, кроме точек разрывах =(2k+ 1). В этих точках сумма ряда, определенная по (10.24`) равна нулю.

Ряд Фурье для функции с периодом 2l.

Пусть дана функция f(x)с периодом2l. Введя новую переменнуюх = lt/получим функциюf((l/)t)- периодическую функцию отtс периодом2, которая легко разлагается в ряд Фурье на отрезке[–; ].

, где ; ;

. Возвращаясь к исходной переменной , получим: , где ; ; (10.25).

Свойства рядов Фурье от функций с периодом 2в этом случае сохраняются.

Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Пусть на отрезке [a, b]задана функцияf(x), удовлетворяющая условиям Дирихле на этом интервале. Зададим периодическую функциюf₁(x)с периодом2l = b – a, совпадающую с функциейf(x)на[a, b](Доопределим функциюf(x)). Если функциюf(x)разложить в ряд Фурье, то сумма этого ряда во всех точках интервала(a, b)совпадает с функциейf(x)и задача решена.

Наиболее просто задача решается, если функция задана на отрезке [0, l]. В этом случае ее можно доопределить так, чтобы ее значения на отрезке[–l, 0]находились из условияf(–x) = f(x)(«четным образом») и тогда функцияf₁(x)разлагается в ряд по косинусам – формулы (10. 21`0 – (10.23``) или так, чтобы на[–l, 0] f(–x) = – f(x)(«нечетным образом») и тогда функцияf<sub>1</sub>(x)разлагается в ряд по синусам – формулы (10.21``) – (10.23``).

Пример: разложить функцию у = 3х на отрезке [0, 2].

1. Доопределим заданную функцию четным образом, т.е. введем новую функцию f₁(x) = 3|x| на интервале [–2, 2].Четная функцияразлагаетсяв ряд по косинусам, т.е.b_n= 0; ;

[интегрируем по частям]

0 приn– четном иприn– нечетном.

Т.о. в итоге получим разложение функции у = 3х на интервале [0, 2] в виде: 3х = 3 .

2. Доопределим заданную функцию нечетным образом, т.е. введем новую функцию f₁(x) = 3х на интервале [–2, 2]. Нечетная функция разлагается в ряд по синусам (см. (10.21``) – (10.23``)), т.е. а₀= 0;a_n= 0;

[ интегрируем по частям]

приn– четном и приn– нечетном.

В итоге получим разложение функции у = 3х на интервале [0, 2] в виде:

.